巧用分母整体换元法解竞赛题

对于一些分式不等式证明题，如果各项分式的分母比较复杂，而且不容易发现解题的思路时，那么我们可以考虑把分母看作一个整体进行换元，从而将分式的分母简化，使问题化繁为简，化难为易，以便于寻找解题的突破口．下面举几例说明．

对｜x-1｜≤a的思考——利用整体换元法解题例析

利用整体换元法、平方法、零点分段讨论法、数形结合法解含绝对值的不等式。

整体换元法在三角函数求值中的妙用

由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值是三角函数求值中的一个常见题型，解决这类问题的关键在于寻找未知角与已知角之间的关系．但对于一些复杂的三角函数求值问题，部分学生直接寻找关系较为困难，即使找到了关系，整体的思想方法不到位，在解题过程中还是会碰壁．针对这类问题，笔者在教学过程中注意到，使用换元的思想方法可以避开这些问题的困扰．

2．换元法（高一、高二、高三）

“转化”是一种重要的数学变换方法，其目的是将原问题转换成我们熟悉的或者容易解决的新问题，换元法就是通过引入新元来实现这种转化的一个重要手段．换元法没有呆板的程序、原则或方法，它主要依赖于对有关数学式子的结构特征的观察和分析，常见的有以“元”换“式”的整体换元法和以“式”换“元”的三角代换法，本文拟从以下几个方面举例说明换元法的应用．

整体换元求值举例

整体换元求代数式的值是指在解求值问题时，灵活变换条件式或求值式的结构，从整体角度去观察分析，常能达到化繁为简，迅速求值的目的．现举几例如下：

把握整体,灵活解题

在解决有些问题的过程中,我们往往不知不觉地把注意力集中在一个局部上,甚至被一些假象迷惑,因而迷失了解题的方向,如能全面地观察、分析整体与局部、整体与结构的关系,则可把握问题的实质,灵活解题,现介绍几种方法如下:一、整体代入例1 巳知a、b、c为不等于零的实数,且a+b+c=0,则a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)的值为__.(1999年山东省初中数学赛题)解:求值式=a+b+c/a+a+b+c/b+a+b+c/c-3=-3二、整体换元例 2 已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,求a2-ab+b2的取值范围.(1998年黄冈市初中赛题)解:设a2-ab+b2=t,由a2+ab+b2=1。

从几何变换视角理解函数y=Asin(ωx+φ)的性质

面对y=Asin(ωx+φ)的图象变换问题,学生存在“机械套公式而不理解算理”的问题,而面对y=Asin(ωx+φ)的性质问题时,学生存在同样的问题,即会套用“整体换元法”的步骤但不理解其原理.

数学解题思想方法技巧（系列连载之一）——第2讲 整体换元思想

已知关于x的方程(a^2-1)(x/x-1)^2-(2a+7)(x/x-1)+1=0有实数根，（1）求a的取值范围：（2）若原方程的两个实数根为x1,x2.且x1/x1-1+x2/x2-1=3/11。

不等式证明中的换元法

<正> 有关《不等式》的中等问题(中档题)主要是考查各类不等式的解法. 从涉及题目的类型来看,有整式不等式,分式不等式,含有绝对值符号的不等式,对数不等式等等.

巧算二次根式

二次根式的运算与化简是二次根式这一章的重点,其题型多样,方法灵活,技巧性强,不易掌握,下面介绍几种常用方法.1 巧用定义例1已知 求:a+b-10x+5y的值. 分析:根据二次根式的定义,根式下被开方数必须非负,因而成为隐含条件,一些与二次根式有关的问题常常可以甚至必须利用到这一条件来解答.

关于一类四元不等式的证明

不等式屡见于数学文献和数学竞赛试题中，日益受到世人瞩目．其证明方法灵活多变，因题而异，无一定法，因而颇具难度．研究四元不等式的证明方法，既可使二元、三元不等式的证明触类旁通，还可令多元不等式的证明思路清晰，迎刃而解，因而对于提高不等式证明的效益具有普...

迎新年2010整体换元妙解题

一年一度的佳节——新年就要来临了，为了欢度节日，特为数学爱好者，提供三道结果均为2010的数学趣题以资助乐，并欣赏整体换元法的魅力．

借“题”发挥 拓展思维

数学习题教学中,研究习题的引伸与应用,拓宽学生的思维空间,发挥习题的智能训练价值,特别是学生创新思维和实践能力的培养,必须引起我们数学教师的足够重视。 一、由例及类,异中求同 法国数学家笛卡尔曾说:“我所解决的每一个问题都将成为一个模式,以用于解决其它问题。”有些习题的作用便是如此。如初中《代数》课本第三册,解方程组:两个未知数的和与积都是常数。

对中学数学中函数值域问题的思考

在中学数学教学中，函数是一个非常重要的内容，而函数的值域又是函数中的一个难点，课本上只给出了函数的概念和基本函数的值域，而几乎所有的资料书上把求“函数的值域问题”的方法都进行了总结，如直接法、配方法、分离常数法、换元法（整体换元法、三角换元法）、判别式法、反函数法、三角函数的有界性、不等式法、单调性法、导数法等，

利用对立统一思想解题例谈

在教学过程中,有些数学题,若按常规思路去解、证常感繁、难,无处入手,有“山穷水尽”之感,怎么办?这时不妨转换角度,从问题的对立面考虑,重新确立思考和解决问题的方法。这样,往往能“柳暗花明”,使问题得以解决。这正深刻地体现了“事物的对立面在一定条件下可相互转化”的对立统一思想。

对“一道中考模拟题的探索历程及反思”的再探索

最近笔者认真拜读了《中小学数学》（初中版）2017年第11期马先龙的“一道中考模拟题的探索历程及反思”一文，深受感触．解法1设二元辅助未知数，利用勾股定理，然后用整体换元法求解．解法2也是设二元辅助未知数，利用勾股定理、余弦定理，然后用整体换元法求解．解法3利用三角函数求解，其中涉及高中数学的和差化积公式，学生也是不易理解．