一类整数递推数列的周期性

笔者研究这类问题是源于题1定义数列{an}:(1)a1=p,a2=q(p、q为素数,且p≠q);(2)对于任意的n∈Z+,若存在m∈Z+,满足an+an+1=2m,则an+2=2,否则,an+2等于an+an+1的最小奇素因子.证明:必存在正整数k,使得ak=2.(2015,中国数学奥林匹克希望联盟夏令营)证明假设不存在k∈Z+,使得ak=2.则据定义,得对于任意的n∈Z+,an为奇素数,an+2等于an+1+an的最小奇素因子.先证明:an≠an+1(n∈Z+).