整边三角形与正整数的一类分拆数

正整数n的k部分分拆是将n表示成k个正整数的无序和.其中正整数n的3部分分拆的一个典型应用是整边三角形.对于整边三角形的研究已经有许多结果,对于周长为n的整边三角形个数有一个估计数公式T(n).本文作者利用分拆的Ferrers图将整边三角形与不定方程4x1+3x2+2x3=n联系起来,给出了利用T(n)计算正整数n的一类4部分分拆数的计数公式以及一类分部量不超过4的分拆数的计数公式,并讨论了其中一类分拆数在图论中的应用.

三分拆的应用——整边三角形

本文利用生成函数给出了整边三角形的个数 T( n)公式的一个直接证法 .然后给出了 T( n)的性质 ,并就两种特殊情形给出了 T( n)

整边三角形

我们通常称三边长都是整数的三角形为整边三角形，它是数学竞赛中经常涉及到的一类问题由于其既要用到三角形的性质，又要用到整数的性质，因此，有一定的难度．

一条中线长为整数的整边三角形

给出一条中线长为整数的整边三角形的充要条件,利用高斯整环的性质给出不定方程b^2+c^2=2k^2+2n^2的解,并由此给出一类中线长为整数的整边三角形.

有一个60°角的整边三角形

设△ABC的三边长a、b、c都是正整数．当∠C=90°时，c^2=a^2＋b^2．如果（a，b，c）=1，那么，称此三角形为“本原勾股三角形”．

整边三角形的通解

在△ABC中,角A、B、C的对边d、b、c均为正整数时,△ABC叫做整边三角形。众所周知,整边三角形各角的余弦均为有理数;但即使三角的余弦均为有理数,三角形也不一定是整边三角形。焦点是下面的问题:

周长为定值的整边三角形

边长均为整数的三角形称为整边三角形。那么周长为定值的整边三角形的个数有多少呢?文[1]、[2]研究了这类问题,但方法不简便。本文利用数形结合的方法给出这个问题的统一结果。

含60°角的整边三角形的结构

对于含60°角的整边三角形，文[1]已有一些研究．本文是笔者沿另一蹊径探索出的结果．

两边和为定值的整边三角形个数

设整数a,b,c为三角形三边,a+b=n∈N,则1≤c≤n-1,不妨设b≥a,有1≤a≤[n/2]。若b≤c,有a+b=N】c,a,b,c均可构成三角形;如b≥c,则仅当a+c】b时可构成三角形,设a=i,有b=n-i。

周长为定值的整边三角形的个数问题

所谓整边三角形是指三条边长都是整数的三角形。在[1]文中,利用母函数性质,求其展开式中某次单项式的系数来确定整边三角形的个数。文中仅涉及一些具体数字例子,并没有给出一般结果,认为“直接建立周长l(l是整数)与整边三角形个数之间的关系是很困难的。”本文将利用分类方法,先从实例出发,找出规律,全面解决这类问题。

外接圆一定的整边三角形

在直径为整数的圆的内接三角形中,有多少三边都是整数的三角形(整边三角形),如何求出它们,是一个较困难的问题.本文通过两个引理,给出整边三角形的一种求法.引理1 若整边三角形△(a,b,c)

关于整边三角形个数的几个结论

三条边长都是整数的三角形称为整边三角形.已知最大边或周长的值,要求确定整边三角形的个数,是经常遇到的问题.本文用分类讨论的方法解决上述问题,文中[x]表示不超过 x 的最大整数,所有字母都是正整数.

三内角成等差数列的整边三角形

2012年第25届爱尔兰数学奥林匹克（IrMO）竞赛的第4题为：

整边直角三角形面积三特点

直角三角形面积与它的两直角边边长紧密相关 ,所以直角边边长的特点直接关系到面积的特点。本文从勾股定理出发 ,结合三元二次不定方程正整数解的特点 。

整边正三角形剖分

△ABC的三边为a,b,c,若a,b,c均为整数,则△ABC称为整边三角形,并记为(a,b,c)。 我们容易发现并证明,(7,3,8)和(7,5,8)都是含60°的整边三角形,而且正巧可以拼成一个边长为8的正三角形,如图1所示。 这个例子启示我们发现了下述定理。 定理1 以长k^2+k+1,k^2+2k(k=2,3,…)

边长特点显著的整边直角三角形

本文从勾股定理出发 ,结合三元二次不定方程正整数解的特点 。

整边直角三角形边长求解初探

本文结合三元二次不定方程正整数解的求解,找到了整边直角三角形边长的本原解和通解的求解公式.利用这一公式,只要知道整边直角三角形的一边之长就可求得其余各边之长.

一类海伦三角形

三边为整数的三角形叫整边三角形，整边三角形的周长为整数但面积不一定为整数，面积为整数的整边三角形叫海伦三角形．一个自然的问题是：是否存在海伦三角形，其周长与面积在数值上相等？我们先来解决下面的问题．