化离散为连续的极限求解模型——无穷小和式极限的探究

极限是微积分的基础,对于常规的七类未定型极限,教材都有详细的归类和讲解,对于无数个无穷小和式极限,用常规方法求解比较难,一般教材又不介绍它的极限求解基本方法,而它代表了极限思想的最本质,可用化离散为连续的方法,探究一般的化归模型,并将模型推广,更深层领悟极限的本质,实现离散与连续的熔合。

极限运算中的局部无穷小等价替换规则

无穷小的等价替换是简化极限计算的有效途径之一,一般只适用于无穷小之比的计算。文章通过对无穷小和式中某一项无穷小进行等价替换后所得的新和式与原和式的比较分析,得出新和式与原和式能等价的充分必要条件;在此基础上进一步得到结论:只要和式中两项无穷小不是比值为-1的同阶无穷小,新和式与原和式必等价。这为无穷小之比极限计算中能否对分子或分母的和式中的单项无穷小实施等价替换来简化运算提供了一个判断依据。