再谈无穷小比较的解释

对无穷小比较的解释引起了不少争议.本文总结分析了各种观点,通过对无穷小趋于零的"快慢"的定性描述和定量描述,肯定了教材中对无穷小比较的解释——趋于零的"速度"快慢的比较.

无穷小比较的意义与应用

本文分析了无穷小比较的意义,以及无穷小比较在计算极限、判别级数和反常积分的敛散性中的应用。

关于无穷小比较的解释

表述了对无穷小比较的解释的看法

关于无穷小比较的一点注记

两个非零的无穷小即使在能比较阶的高低情况下,一个无穷小未必是另一个无穷小的k(k>0)阶无穷小.

对《质疑无穷小比较的一种解释》的质疑

因为混淆了无穷小的"瞬时"速度和它与0的靠近"速度",所以由此而否定"若α是较β的高阶无穷小,则α比β趋近于0的速度快"的试图是站不住脚的.从导数角度,能够证明无穷小的"瞬时"速度小与无穷小向0的靠近"速度"快之间不仅不是矛盾的,而且还是协调一致的.

无穷小比较在教学中的探讨

高等数学中总会涉及到无穷小(量)与无穷大(量),无穷小比较,极限运算中的等价无穷小代换等,这些内容出现在教材里一小节.本文结合教学中的一些体会,对无穷小比较,无穷小比较在极限计算、判定常数项级数的敛散性及广义积分的敛散性方面的应用作一些探讨.

无穷小比较的意义及其应用

对《高等数学》教材中无穷小比较的解释进行了解读,并通过研究无穷小之比的极限与函数的导数之比的联系,分析了无穷小比较的意义,以及无穷小比较在计算极限中的应用,给出了一种洛必达法则的证明方法.

无穷小量比较的应用

讨论了无穷小比较的两个应用：证明了两个定理，运用它们可解决在和差运算时如何用等价无穷小作代找换后求极限；将无穷小量的比较运用到正项级数的比较判别法的极限形式中，使判别方便易行。

关于“无穷小的比较”的教学研究

分析"无穷小的比较"相关教学内容在高等数学课程中的地位和作用,指出现行教材针对该部分内容的实际编写存在诸多问题,给出实际教学过程中需要补充和扩展的内容,并就这部分内容的教学设计与教学方法提出几点具体建议.

理解无穷小阶的比较的两种视角

本文介绍了从无穷小的可比较定义角度和从无穷小收敛快慢比较的角度对无穷小收敛阶的比较的理解,结果表明,高阶无穷小、低阶无穷小和同阶无穷小等概念,无论是在无穷小的可比较特征上还是在无穷小收敛快慢比较特征上都有着相应而明确的含义,本文给出的定义、定理和结论有利于我们和初学者对无穷小阶的比较形成正确的理解。

关于“无穷小量的比较”在预科阶段高等数学中的教学设计

无穷小量的比较是高等数学中极限理论的重要概念之一,此内容的特点是高度抽象,初学者不易理解。少数民族预科生的数学基础普遍薄弱,数学水平层次不齐,对于新知识的理解能力较弱,常规的教学进度与讲授方法,学生理解起来感到困难,学习效果欠佳。因此,教学中需要在教师的引导下,从已有的知识和生活实例出发,通过直观的方法概括出数学概念。

关于无穷小的若干比较方法及应用

函数的极限是极限理论的一个重要组成部分,无穷小的定义与计算则是函数极限的基础.无穷小的比较问题是微积分的重要内容,为了更系统地解决此类问题,文章从无穷小比较的定义、等价无穷小定阶法、比较定阶法、泰勒公式定阶法、求导定阶法这五种方法进行了讨论,并且分别给出了对应的实例分析.灵活使用这些方法,可以做到更加有效地解决无穷小的比较问题.

无穷小阶的比较的讲授方法

对无穷小和无穷小阶的比较的理解是掌握极限理论的关键对同一极限过程下的一组无穷小,抽象的阶的比较往往使初学者难以接受。本文考虑在课堂上讲授这一部分时运用类比,力图将无穷小阶的比较过程形象地呈现出来。这一类比也可用于对无穷大及其阶的比较的课堂讲授。

关于无穷小量的几点注记

指出α为β的高阶无穷小不等价于β为α的低阶无穷小,并证明了无限个无穷小量的和或者乘积如果存在一定是无穷小量.

关于无穷小阶数的几点注记

为了要更精确地比较无穷小的形态,需要用数字来表示它们的阶.结合无穷小的阶数的定义,给出无穷小阶数的相关性质,并统一从无穷小的阶数的观点来回答无穷小内容学习的几个难点,什么条件下两个无穷小才可以进行比较?在用等价无穷小代换求极限中,什么条件下相减和相加的因子能看成一个整体直接代换?最后给出无穷小定阶的常用方法.

极限运算中的几个等价无穷小代换法则

给出极限运算中等价无穷小可代换的若干条件.

推广的等价无穷小代换法

在［１］中关于等价无穷小阐述的基础上，给出一组定理，进而使该种方法得以推广。

浅谈如何利用比较判别法判断正项级数的敛散性

比较判别法(包括极限形式)是判断正项级数敛散性的一种重要的方法。但对于高职学生来说,此方法比较难掌握。本文将利用无穷小的比较,帮助学生更好地掌握比较判别法。

一种1^∞型幂指函数极限简便解法的讨论

根据幂指函数极限的一般求法,推导得出了1∞型幂指函数极限的一种简便解法,并对所得到的结论结合无穷小的比较进行了讨论和推广.

高等数学中两个难点的教学探索

本文首先对无穷小阶的比较给出了知识框图,明确了概念间的内在蕴含关系;其次验证了一类函数的高阶导数的两种形式上的一致性.