无粘性Burgers方程黎曼问题光滑近似解的高阶衰减估计

通过运用特征线法,引入一些非线性函数变换,讨论了无粘性Burgers方程如下柯西问题wt+wwx=0,w(x,0)=w0(x)=21(w++w-)+w^K∫q0εx(1+dyy2)q,

一种风向监督双流神经网络--以一维Burgers方程求解为例

针对一维Burgers方程下单一建模方式难以充分考虑不同阶段风向对系数的影响比重,无法有效获得各节点间的关联信息的问题,本文提出了一种风向监督双流神经网络分别预测上下风向的有限差分系数。同时设计了一种风向判断模块,实现了对预测得到有限差分系数的权重融合。通过风向监督双流神经网络,并结合先验知识对学得的系数分配一定的权重,以突出上下风向对预测结果的不同影响,可以有效实现对不同风向上的点分别进行预测,使得空间结构特征信息挖掘更加充分,从而提高差分系数预测的精度。在比传统数值求解方法网格分辨率粗4~8倍的同时,提高了谷歌团队工作的精度,以此提高了计算的速度。

定常Burgers方程的周期解

本文首先对Burgers方程的周期解关于粘性系数ε作幂级数展开,得到逼近函数之间的递推关系。然后,通过对逼近函数作Fourier级数展开,给出了逼近函数Fourier展开的通项形式,并证明了每个逼近函数的Fourier级数是一致且绝对收敛的。

基于梯度增强物理信息神经网络的一维弱噪声随机Burgers方程求解

物理信息神经网络PINNs (Physics-Informed Neural Networks, PINNs)因其良好的可解释性和泛化能力,被当作求解偏微分方程的一类通用逼近器。传统PINNs通过在损失函数中引入方程残差,将方程所携带的物理先验信息编译至网络中,但在求解实际问题时往往需要数量足够大的训练数据集,其输出才具有较好的网络表现力和求解精度。针对一维弱噪声随机Burgers方程,提出梯度增强的物理信息神经网络(Gradient-enhanced Physics-Informed Neural Networks, G-PINNs),采用方程导数的残差作为一种优化的软约束指导网络迭代更新,理论分析PINNs与G-PINNs两种网络架构寻找方程计算域内最优解的能力。改变数据集的噪声比例和配置点数量,评估两种网络架构拟合一维Burgers方程解结构的性能差异。数值算例表明,G-PINNs在无噪声、1%、3%和5%弱噪声下求解一维Burgers方程的精度分别提高了约80%、44%、31%、和20%。相较于传统PINNs,当迭代次数相同时G-PINNs在无噪声与弱噪声的情况下均能在更少的数据集上拟合一维Burgers方程的解结构,获得精度更高的预测解。

一维Burgers方程定解问题的同伦分析解

针对一类Burgers方程定解问题,以Burgers方程的线性部分作为辅助线性算子,构造出相应的同伦方程,给出了同伦方程的同伦分析解.与已有结果进行比较,该同伦分析解有更好的数值逼近效果,能反映出真实的物理现象.

基于PINN的Burgers方程求解模型

传统的数值求解方法面临维数灾难和效率与精度平衡问题,而基于数据驱动的神经网络求解方法又存在训练量冗余和不可解释性问题。针对此问题,物理信息神经网络(Physical Information Neural Networks,PINNs)关注了训练数据中隐含的物理先验知识,融合了神经网络拟合复杂变量的能力,赋予了传统神经网络所缺乏的物理可解释性。应用该算法模型,提出了一种基于PINN的Burgers方程求解模型,该算法模型在训练中施加物理信息约束,因此能用少量的训练样本学习预测到分布在时空域上的偏微分方程模型。实验结果表明,在1+1维Burgers方程算例下,所提方法相比于经典的机器学习算法能有效捕抓到方程的变化并进行精确模拟,相比于有限差分法,可以大幅度缩短模拟时间。通过对不同的网络参数进行比较实验,所提方法在10%的噪声破坏下能产生合理的识别准确度,网络逼近方程的待定系数误差在0.001以内。

粘性波动方程解的逐点估计

本文中研究二维空间带粘性项非线性波动方程解的逐点估计。在经典解整体存在的情况下,解可由格林函数表示,通过对格林函数的详细分析,以及它与非线性项的相互作用,得到解的逐点衰减。

非粘性Boussinesq方程的爆破准则

为了改进非粘性Boussinesq方程在Besov-Morrey空间上的爆破准则,利用粒子轨道映射和Gronwall不等式,建立了非粘性Boussinesq方程在Besov-Morrey空间上新的爆破准则.研究表明:新的爆破准则仅与涡度有关,与温度无关.

Burgers方程的奇摄动初值问题的激波解

利用合成渐近展开法研究具有初值间断的Burgers方程的奇摄动问题.初始条件的突变使得问题的解在过渡层产生激波.首先,在激波位置两侧分别寻求具有边界层性质的近似式;再使用衔接法将对应的曲面光滑地衔接,构成激波解的形式近似;最后,运用渐近展开理论分析解的渐近性质,得到一致有效的渐近展开式.

一类非线性Burgers型问题的预测校正紧差分方法

针对一类非线性Burgers型方程,提出一种预测-校正紧差分方法。首先,对时间一阶导数采用一阶Euler格式,时间积分项运用一阶卷积求积公式进行离散,并以MacCormack方法的两步预测-校正方法处理非线性项;然后采用四阶紧差分离散空间的一阶和二阶导数,构造了Euler预测-校正紧差分全离散格式。最后通过案例验证了所提出算法的有效性。

时间周期折现Hamilton-Jacobi方程的粘性解及其性质

主要研究紧空间上时间周期折现Hamilton-Jacobi方程u_(t)+λu+H(x,D_(x)u,t)=0粘性解的表达形式及其动力系统性质。若H是Tonelli型Hamilton函数,将给出该方程在初值一定时粘性解的表达式,进一步地,给出其1-周期解的表达式,在所给条件下,该周期解是其唯一的1-周期粘性解,并给出了实现1-周期粘性解的λ-极小曲线的一致有界性。

有限差分-配点法求解二维Burgers方程

将重心插值配点法结合Crank-Nicolson差分格式来求解Burgers方程.首先,利用Hopf-Cole变换将Burgers方程转化为线性热传导方程;空间方向采用重心插值配点法进行离散,时间方向采用Crank-Nicolson格式离散,导出对应的线性代数方程组,并对此计算格式进行相容性分析;最后,通过数值算例验证此计算格式具有高精度和有效性.

带粘性的Burgers方程的自适应有限元算法

对于带粘性项的Burgers方程,我们采用特征线有限元方法离散时间导数项和对流项,用分片线性有限元离散空间扩散项,应用Z.Chen[5]关于非线性对流扩散问题的后验误差估计及其估计子。我们采用了CERS加密放粗策略,设计了相应的自适应算法。并在二维情形下进行了数值试验,成功刻画了Burgers方程的击波现象,并且得到了拟最优的收敛阶。

基于通量限制器的时间分数阶Burgers方程数值解法

对于求解可能具有激波等不连续点的时间分数阶守恒律,当分数阶γ接近于0时,目前还没有有效的方法求解时间分数阶非线性离散系统,本文以时间分数阶Burgers方程为例,运用多重网格迭代方法进行求解,对于对流项,采用通量限制器,使得新的数值通量在光滑区域变为高阶通量而在间断附近变为低阶通量,从而使问题的解达到更高阶精度,并在不同的γ取值以及不同的初边值条件下进行了有效的数值实验。

基于五阶WENO格式的时间分数阶Burgers方程的多重网格方法

我们研究一种求解时间分数阶Burgers方程的多重网格方法。离散化过程中,时间分数阶导数采用L1公式逼近,对流项运用Lax-Friedrichs通量近似计算。在数值实验中,在不同的 取值下进行了有效的数值实验,结果证明该方法可以很好地模拟间断。

粘性Burgers’方程的线性化Crank-Nicolson格式（英文）

应用线性化的Crank-Nicolson格式数值求解二维粘性Burgers’方程.新格式不但具有二阶精度而且是无条件稳定的.最后数值实验表明新格式的高精度和有效性.

变系数Burgers方程的一些新精确解

利用齐次平衡原则 ,导出了变系数Burgers方程的B¨acklund变换 (BT) ;并由该B¨acklund变换 。

柱Burgers方程和球Burgers方程的解析解

对包括阻尼Burgers方程、柱Burgers方程和球Burgers方程在内的一类Burgers方程进行了求解,得到了这类方程的一个近似解析解.结果表明,波的振幅和速度都随时间的变化而减小.对所得解析解与数值解进行比较,结果表明两者符合得非常好.

变系数Burgers方程的精确解

对双曲函数法进行了扩展,利用它找到了变系数Burgers方程在一定条件下的若干精确解,包括变速孤立波解和周期波解.实例证明在对变系数偏微分方程的求解中,该法仍然是一种简便易行的方法.

Burgers方程的小波精细积分算法

求解偏微分方程的常用方法包括有限差分法、有限元法等。近年来,小波分析在偏微分方程数值求解中的应用已引起很多学者的关注,例如采用Daubechies小波或shannon小波构造的小波配置方法已经取得较好的结果。钟万勰院士提出的偏微分方程的子域精细积分方法是一种半解析方法,方法简单,精度高。将小波方法和精细积分方法相结合应用于偏微分方程的数值求解中将有利于提高算法的精度和稳定性,为此本文以Burgers方程为例,提出了一种求解一维非线性抛物型偏微分方程的小波精细积分方法。该方法用拟小波配点法对空间域进行离散,建立起对时间的常微分方程组,然后采用精细时程积分方法对该方程组求解。数值计算结果表明,该方法同其它方法相比,具有计算格式简单,数值稳定性和精度较高的优点。