时间分数阶Huxley方程的求解及其精确解

近年来微分方程在科学研究和工程应用中得到了广泛的使用.随着分数阶非线性偏微分方程的诞生,探讨分数阶非线性偏微分方程的精确解成为一个重要问题.利用行波变换将时间分数阶Huxley方程转化为等价的微分方程,再分别利用推广的Kudryashov方法和齐次平衡法对时间分数阶Huxley方程进行求解,利用分数阶微分算子的性质,经过一系列复杂的计算得到Huxley方程的精确解.进一步探讨两种不同方法得到精确解的区别.

求解具有初始奇异性的二维非线性时间分数阶波动方程的紧差分格式

基于具有初始奇异性的二维非线性时间分数阶波动方程的等价积分-微分形式,将卷积求积公式与Crank-Nicolson技术相结合,建立了求解该方程的交替方向隐式(alternate directional implicit,ADI)数值格式。理论推导说明,该格式在时间方向上至少具有γ阶精度,在空间方向上具有4阶精度,并用数值算例进行了验证。

一种求解时间分数阶非线性抛物型方程的等阶混合有限元

为数值求解时间分数阶非线性抛物型方程,本文提出了一种k次等阶混合有限元.为获得有限元的完全离散格式,本文在时间方向上考虑经典L1格式、在空间方向上使用基于局部投影的稳定混合有限元.本文定义了混合投影并得到了有限元的误差估计.数值算例验证了理论结果 .

求解一类时间分数阶扩散方程的深度学习方法

偏微分方程可以用深度学习方法求解,其求解思路是构建损失函数、采集样本点,然后在采集到的时空样本点上利用随机梯度下降法训练神经网络,直接去逼近方程,从而把方程求解问题转化为极小化损失函数的问题.特别地,对时间分数阶扩散方程而言,损失函数刻画了神经网络与方程的分数阶算子、初值条件、边界条件等的逼近程度.常见的损失函数有均方误差损失函数及交叉熵误差函数.理论上,使损失函数减小到零的神经网络就是方程的解.本文证明,用深度学习方法求解时间分数阶扩散方程时均方误差损失函数可以减小到零,且相应的神经网络在解区域上一致收敛到方程的真解,因而此时的神经网络就是方程的解.数值算例验证了理论分析.

多项时间分数阶扩散方程类Carey非协调元的误差分析

基于L^(1)全离散格式,针对具有Caputo导数的二维多项时间分数阶扩散方程给出了类Carey非协调有限元方法.利用该单元的特殊性质和分数阶导数巧妙的处理技巧导出了L^(2)模和H^(1)模意义下的最优误差估计.

分数阶时间导数方程和反常亚扩散过程——纪念茆诗松教授

本文介绍并且改进和推广了时间导数为分数阶的方程,以及与反常亚扩散过程相关联的最近的一些结果.

基于L2-1_(σ)格式逼近时间分数阶扩散方程的差分方法及其收敛性分析

针对时间分数阶扩散方程,在时间方向上结合L2-1_(σ)格式,空间上采用二阶中心差分方法进行离散,并对离散格式进行了收敛性和稳定性分析,离散格式和分析方法可以很容易推广到空间高维情形。最后,通过数值算例对L2-1_(σ)格式和L1格式进行了误差和收敛阶的对比,显示出L2-1_(σ)格式在时间分数阶导数逼近上的优势。

半线性Riemann-Liouville分数阶发展方程反馈时间最优控制

该文研究Banach空间中一类半线性Riemann-Liouville.首先,利用不动点定理求解方程的温和解存在唯一性.其次,在半群是紧的前提下借助Cesari性质和Fillipove定理证明容许轨迹集的非空性.在此基础上证明时间反馈最优控制问题的存在性结果.最后,给出实例来说明文章的主要结果.

Caputo-Katugampola时间分数阶扩散方程的数值求解方法

本文研究带Caputo-Katugampola分数导数时间分数阶扩散方程的数值解法: 使用中心差分格 式离散空间扩散顶,采用L1差分格式离散时间分数阶导数。 实验结果表明该方法在空间和时间上 的收敛速度分别为2阶和2 − α阶。

非线性时间分数阶四阶混合次扩散和扩散波动方程的混合有限元算法

本文数值求解了一个二维非线性时间分数阶四阶混合次扩散和扩散波动方程,在时间方向上采用L1-CN格式,在空间上通过混合有限元方法进行离散,并且在此基础上,给出了它的全离散格式。最后针对该数值格式提供了算法过程和数值算例,以及详细的收敛结果。

求解时间分数阶相场微分方程的自适应分数阶物理信息网络

本文提出具有自适应权重的分数阶物理信息神经网络(adaptive-fPINN-PQI)求解时间分数阶偏微分方程。首先,利用Hadamard有限部分积分意义上的分段二次插值(PQI)对时间分数阶导数进行离散。其次,为降低自动微分引入的误差,本文采用中心差分法代替自动微分求导,计算空间各阶偏导数,提高了预测解精度。此外,本文构建的自适应权重残差网络,基于残差网络架构有效防止梯度消失。并通过建立自适应权重来自动调整不同损失项的权重,显著平衡其梯度,进一步提升预测解精度。最后,将adaptive-fPINN-PQI用于求解时间分数阶相场偏微分方程,证明了该网络的高精度和高效率。

一类时间-空间分数阶Klein-Gordon方程的孤立波解

利用1/G展开法对一类时间-空间分数阶Klein-Gordon方程进行了求解,并得到了丰富的行波解.所得解主要为该方程的孤立波解和扭曲波解.选取部分解进行相图分析显示,所得解均是有效的.该研究结果扩展了分数阶Klein-Gordon方程的应用范围.

一个求解二维非线性时间分数阶波动方程的向后欧拉差分格式

基于所考虑方程的等价积分-微分形式,将卷积求积公式与向后欧拉差分公式相结合,建立了一种求解二维非线性时间分数阶波动方程的数值格式.通过理论推导说明该格式在时空方向上的精度为O(τ+h^(2)_(1)+h^(2)_(2)),并用数值算例验证了该结论.

一类带有梯度项的Caputo型时间分数阶扩散方程解的局部存在性和全局存在性

通过建立解算子的估计,本文研究一类带有梯度项的Caputo型时间分数阶扩散方程适度解的局部存在性,并证明一类带有梯度项的Caputo型时间分数阶扩散方程的极值原理,进而得到该问题小初值假设下适度解的全局存在性.

时间分数阶Klein-Gordon方程的有限差分方法

研究时间分数阶Klein-Gordon方程的有限差分方法。构建基于L 1格式的时间分数阶Klein-Gordon方程的均值有限差分格式,利用一种新的能量分析方法证明有限差分格式的收敛性与稳定性。最后,通过数值例子验证该方法的有效性与可行性。

一类带记忆项半线性时间分数阶σ -发展方程解的爆破

研究了一类带记忆项半线性时间分数阶σ-发展方程解的爆破,通过构造合适的测试函数,在非线性项指数满足一定条件时证明了解的有限时刻爆破,并得到了生命跨度的上界估计,且所得到的指数p的范围在极限情形下与经典爆破结论一致.

时间分数阶扩散方程逆向问题的迭代分数次Tikhonov方法

研究了一个在一般有界域中的具有可变系数的时间分数阶扩散方程的逆向问题。提出了一种迭代的分数次Tikhonov正则化方法去解决这个逆向问题。此外,通过先验正则化参数选取规则和后验正则化参数选取规则,证明了正则化解的收敛率。迭代的分数次Tikhonov正则化方法超越了经典Tikonov正则化方法的饱和结果,在先验参数选取规则下,迭代的分数次Tikhonov正则化方法优于经典迭代Tikonov正则化方法。

用动力系统方法研究一类时间分数阶扩散方程的精确解

随着时代的发展,分数阶微分模型的应用越来越广泛,故对其研究非常有必要。本文在Riemann-Liouville分数阶导数的定义下利用半固定式变量分离法与动力系统理论相结合的方法,研究了一类时间分数阶扩散方程的精确解,获得了方程的一系列精确解,通过解的坐标演化图直观地展示了在不同参数条件下的扩散现象。

多项时间分数阶抛物型方程反源问题的拟逆方法

本文利用分数阶拟逆方法解决多项时间分数阶抛物型方程的反源问题,该反问题是不适定的。 首先给出了反问题的条件稳定性,然后提出分数阶拟逆方法,即在原方程中引入了与椭圆微分算子 有关的新的扰动项,最后基于多项Mittag-Leffler函数的一些性质,在理论上我们给出了正则化解在先验正则化参数选择规则下相应的收敛速度。

一个时间分数阶扩散方程的精确解和动力学性质

众所周知,相比于整数阶非线性偏微分方程的求解问题,分数阶非线性偏微分的精确求解问题是一个极为困难的问题.文章利用半固定式变量分离方法与动力系统方法相结合的方式,研究了一个时间分数阶扩散方程的精确解及其动力学性质.获得了比原始文献中得到的精确解更加丰富的内容,并讨论了部分新精确解的动力学性质,通过解的坐标演化图直观地展示了在不同参数条件下的扩散现象.