导数中的基本问题——曲线的切线

曲线的切线问题是高考数学中的热点问题,大家对“在一点处”和“过一点处”的切线问题比较熟悉,最近几年,过一点切线的条数及两曲线的公切线等成为新的热点问题.曲线的切线问题除了考查考生对导数几何意义的理解,还涉及对函数与方程、化归与转化、构造等思想方法的考查.

例析曲线的切线与函数单调性问题

导数的几何意义即曲线的切线的斜率,是导数在函数中最基础与最直接的应用。导数不仅用于函数图像的切线的研究,还可用于解析几何中曲线的切线的研究。导数是研究函数的单调性最有效的工具。利用导数判断函数的单调性,进而证明不等式;求函数的零点与极值(最值),解决生活中的优化问题;已知单调性求参数等问题,都是高考的重要考点。

指向核心素养的高三数学复习单元教学——以“圆锥曲线的切线”为例

单元教学是指在整体思维的指导下审视教材内容和课程标准的要求,对知识内容进行分析、重组和整合,并形成相对完整的教学单元。以“圆锥曲线的切线”为例,在单元教学理念指导下,从规划单元、活动实施、总结评价三个方面对高三数学复习课的设计进行实践,运用自主学习、小组合作、班级研讨的教学形式,以切线为中心把直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线规划成一个问题探究活动。在探究活动中不断优化解题思路,通过类比猜想发现问题、分析问题、解决问题、获得结论,最终抽象出圆锥曲线切线的一般形式,从而在高三数学复习中实现建构知识、领悟方法、提高能力、发展学科核心素养的教学目标。

曲线的切线面面观

“曲线的切线”是实施新教材以来新加深的概念之一，同学们对切线的认识是逐步深化的，最初用和圆只有一个公共点的直线来定义圆的切线，接着用判别式为零判别直线与二次曲线相切，而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线，切线与曲线的交点可以不止一个，就不再用交点个数来定义，而是用割线的极限位置来定定义的．本文重点对曲线切线的定义进行剖析。对常见认识误区进行释义，并对常见的二次曲线的切线方程的求法进行了探讨，应该对整体认识曲线的切线的概念具有重要意义．

基于几何画板的数学可视化教学探讨——以平面曲线的切线概念教学为例

基于《几何画板》软件环境下,以平面曲线的切线概念为例进行数学可视化教学的探讨:"沟通新旧知识间的内在联系,以可视引导思维;提供典型的认知代表,以互动交流思维;创设可视化实验环境,以实验激活思维"。

用“几何画板”作圆锥曲线的切线

用数学软件“几何画板”不能直接得到直线与圆锥曲线的交点,只能通过间接构造的方法来解决.本文剖析了如何在理解圆锥曲线的定义的基础上,巧妙利用圆锥曲线切线的性质,解决利用“几何画板”作圆锥曲线的切线问题.

用导数研究曲线的切线问题

用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点,常与解析几何知识交汇命题,旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。

探究曲线的切线及其在高考中的应用

曲线的切线是解析几何中的重点内容,也是高考的考点知识.在初中几何中从图形的位置关系认识了直线与圆、圆与圆相切的概念,进入高中后又从代数方程组的角度重新认识了直线与圆、圆与圆相切的位置关系,进而还认识了直线与圆锥曲线相切的位置关系.而到了导数的几何意义时,又从极限逼近的方法定义了切线.与前两种认识相比,这种定义更加细腻和抽象,是低层次认知向高层级认知的跨越.然而学生对之前的直观认识已根深蒂固,对更高级的极限认识却知之甚少.文章以某学生求切点的不同方法和疑问为引子,分析其认知原因,探究切线的外延,呈现重要的“相切模型”在高考解题中的应用价值.

圆锥曲线的切线性质探究

1圆锥曲线的切线的一个统一性质 1）问题探究 例1（2010年清华大学等5校联考改编）过抛物线y^2=2px（P〉0）的焦点F的直线l与该抛物线交于点A，B，l1，t2分别是该抛物线在点A，B处的切线，设l1，l2相交于点M，试求M的轨迹方程．

探究一般曲线的切线及其在高考中的应用

曲线的切线是解析几何中的重点,也是高考的考点.在初中几何中从图形的位置关系认识了直线与圆、圆与圆相切的概念,进入高中后又从代数方程组的角度重新认识了直线与圆、圆与圆相切的位置关系,进而还认识了直线与圆锥曲线相切的位置关系.而到了导数的几何意义时,又从极限逼近的方法定义了切线.

圆锥曲线的切线斜率研究

圆锥曲线中的切线问题是高考中的常考题型,难度一般较大,常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起,注重数学思想方法的考查,尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查.本文通过研究圆锥曲线的切线斜率之积问题,得到三个定理,用定理能高效解决定值、范围、求点的轨迹方程等高考真题.

圆锥曲线的切线型直线、切线作图

本文将证明关于圆锥曲线切线型直线的一个结论,进而得到圆锥曲线的切线型直线及切线的作图方法.

利用中点构造圆锥曲线的切线

圆锥曲线的切线是圆锥曲线问题里非常重要的一个问题.通常情况下,非圆的圆锥曲线的切线只能通过联立直线与圆锥曲线的方程,利用判别式来判断.笔者在研究圆锥曲线的切线时发现一种利用中点构造圆锥曲线的切线的方法.

导数背景下曲线切线问题的类型及处理策略

函数曲线的切线问题是高考命题的常考题型,此类问题常借助导数的几何意义来处理,即函数在切点处的导数值为曲线在该点处的切线斜率.从命题视角来看,主要有曲线在某点的切线、过某点的切线,两条曲线共切点的公切线、不共切点的公切线等.综合来看,处理此类问题主要借助切点在曲线上、切线上、切点处的导数值等于切线的斜率来解决,切点未知时可设出切点的坐标.下面举例分析.

利用导数研究曲线的切线问题

利用导数研究曲线的切线问题,是高考命题的热点,在各地的模拟试卷中也有体现。从题型看,主观题与客观题均有;从难度方面考察,既有直接利用导数求切线方程的简单问题,也有利用切线刻画函数图像性质或者研究两条曲线公切线的难题,需要综合运用函数与导数的有关知识解答。

与圆、圆锥曲线切线、切点弦有关的定点、定直线问题解法浅探

在数学解析几何的题型中,有许多题型是证明动直线过定点,动点在定直线上,其中有一类题型与圆及圆锥曲线的切线、切点弦有关,下面就探讨这一类问题的解法.我们知道:过圆x^2+y^2=r^2(r>0)上任意一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2,从圆x^2+y^2=r^2(r>0)外任意一点P(x0,y0)作圆的切线,切点弦方程为x0x+y0y=r^2,两者形式相同.

导数概念与圆锥曲线的切线

高中数学中的切线最早见于直线与圆的位置关系之中;其后,在高中数学人教A版教材选修2-1的圆锥曲线中也常常见到各类切线;而切线作为严密的数学概念却在导数一章中才给出严格的定义.导数的概念是高中数学教材中最重要、最深邃的概念之一,定义本身就体现了数学中无限逼近、以不变代变、化归转化等数学思想.

例析曲线公切线下的函数零点问题

一、问题提出曲线在某一点处的切线,作为引入导数概念的背景,以及导数的几何意义贯穿在导数及其应用这一章节.在高考中经常出现与曲线的切线相关的考题,从求切线的方程,到已知切线方程,求相关的值与最值,再到近几年出现了以曲线的公切线为背景的问题。

二次曲线的切线及切点弦方程初探

在平面直角坐标系中,由关于x,y的二次方程表示的图形统称为二次曲线,圆、椭圆、双曲线、抛物线均为常见的二次曲线.二次曲线与直线的位置关系一直是高考的热点问题,而直线与二次曲线相切是一类特殊的情形.笔者受2019年高考全国Ⅲ卷解答题第21题启发,利用"隐函数"求导的方法给出了部分二次曲线的切线及切点弦所在直线的方程,以飨读者.

利用导数研究曲线的切线问题

众所周知,高三数学复习时间紧,内容繁杂,如何提高学生的课堂兴趣和效率,提高学生的参与度和应用能力,一直是教师思考和研究的问题。结合高中数学的学科特点,专题复习法,即"微专题"应运而生。函数的切线一直都是高考考查的重点与热点,本文将从五个方面来阐述笔者对"利用导数研究切线问题"这节复习课的理解与设计。