因子链上幂矩阵行列式的整除性

设S={x1,……,xn}是由n个不同正整数组成的集合,ε∈Z+,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最大公因数(xi,xj)的ε次幂(xi,xj)ε,就称这个矩阵是定义在S上的最大公因数的ε次幂矩阵,简记为(S)εn;如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最小公因倍数[xi,xj]的ε次幂[xi,xj]ε,就称这个矩阵是定义在S上的最小公倍数的ε次幂矩阵,简记[S]εn为。如果S中元素满足1≤i≤j≤n有xi|xj,就称S是一个因子链。研究了对ε∈Z+,定义在任意因子链S上的幂矩阵(S)εnn和[S]ε的行列式det(S)εn间的整除性。

最大公因数闭集上幂矩阵的行列式整除性

设S={x1,…,xn)是由n个不同正整数组成的最大公因数闭集,我们证明: (1)如果n≤3,则对(?)ε∈Z+,有det(S)nε整除det[S]nε;(2)如果maxxi∈S{xi}<12, 则对(?)ε∈Z+,有det(S)nε整除det[S]nε;(3)如果maxx∈S{R(x)}≤1,其中R(x)是x 在S中的最大型因子集,则对(?)ε∈Z+,有det(S)nε整除det[S]nε．