Smarandache LCM的对偶函数与最小素因子函数的均方值

研究了Smarandache LCM函数的对偶函数与最小素因子函数的均方值分布问题.利用初等及解析方法给出一个有趣的均值公式,从而推出这两个函数的值几乎处处相同.

对包含整数的最小素因子和的估计

ｎ为自然数（ｎ＞１）令ｐ（ｎ）表示ｎ的最小素因子，（ｎ）表示。的所有的素因子的个数，ｗ（ｎ）表示ｎ的不同的素因子的个数．本文绘出了，的渐近估计式，其中ｒ＞０．它们改进并推广了张文鹏相应的结果．

一类含有自然数最小素因子的和

令P(n),Q(n)分别表示自然数n的最小素因子和最大素因子.近年来,Erd(?)s,Ivi(?)等学者对含有P(n),Q(n)的倒数的和进行了研究.例如Ivi(?)证明了本文和通常一样,令ω(n),Ω(n)分别表示n的不同素因子的个数和全部素因子的个数.

对含有整数最小素因子的倒数的某些和的估计

设ｐ（ｎ）表示整数ｎ＞１的最小素因子。本文得到了的渐近式，此处 ｆｖ（ｎ）是一类数论函数．

亲和数的最小素因数

对于大于1的正整数n,设f(n)是n的最小素因数。用初等方法证明了一对亲和数的最小素因数的上界,即:如果(a,b)是一组亲和数,则必有f(a)<2logalog2以及f(b)<2logblog 2。

最小数原理在数学竞赛中的应用

有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不均衡的,其中的某个极端元素往往具有优于其他元素的特殊性质,能为解题提供方便,而利用这种极端性的方法之一就是最小数原理.最小数原理是证明关于自然数的命题的一种重要方法.它和数学归纳法的归纳原理是等价的,但是使用上比数学归纳法更灵活,应用面也更广,从替代数学归纳法、取集合中的最大或最小的数进行分析,取正整数的最小素因子进行分析,无穷递降法,韦达跳跃,无穷递降原理在操作类问题中的应用等方面举例说明了最小数原理的应用方法和技巧。

关于一道抽象代数题的推广

用初等的方法证明了:设G是有限群,p是G的最小素因子,若对任意n∣|G|都有|{x∈G∣x^(n)=1}|≤(p-1)n,则G是循环群.推广了教材[1]第1.4节的习题3.

广义四元数群的全自同构群

一个有限群 Q4 n称为广义四元群 ,若 Q4 n=〈a,b|a2 n=1,b2 =an,ab=a- 1 〉,n≥ 3.根据广义四元群 Q4 n的结构和性质 ,利用群的扩张理论 ,先确定了 Q4 p与 Q4 pm的全自同构群的结构 ,由此归纳出一般的广义四元群 Q4 n的全自同构群的结构如下 :设 p1 为 n的最小素因子 ,n=pr1 1 pr22 … prkk 为 n的素数分解 ,那么(a)当 p1 >2时 ,Aut(G) =〈α〉:(〈η1 〉×〈η2 〉×…×〈ηk〉) ;(b)当 p1 =2时 ,Aut(G) =〈α〉:(〈η2 〉×…×〈ηk〉) , r1 =1〈α〉:(〈γ〉×〈η2 〉×…×〈ηk〉) , r1 =2〈α〉:(〈μ〉×〈ν〉×〈η2 〉×…×〈ηk〉) , r1 ≥ 3.

关于群的阶与群的共轭类数的商

讨论有限群的阶与群的共轭类数之比的问题 .得到 :定理 设G为非Abel有限群 ,p为G的最小素因子 ,c1为G中非中心元素共轭类长度的最小者 ,μ(G)为群G的阶与群的共轭类个数之商 ,则 : μ(G)≥ c1p2p2 +c1- 1; 若Z(G)的阶为奇数 ,则 μ(G) =2当且仅当G/Z(G) S3 .

一类可加函数的均值估计

对任意正整数n,素因数和函数F(n)为F(1)=0,当n>1且n的标准分解式为n=p1a1p2a2···prar时,F(n)=α1p1+α2·p2+···+αr·pr.设p(n)表示n的最小素因子.本文研究了可加函数(F(n)-p)2的值分布,并用初等方法得到了一个较强的渐近公式.

关于除数函数d_k(n)的一个注记

设dk(n)为k重除数函数 (k≥ 2 )。证明了 :对充分大正数x ,同时使等式组 {dk(n) =dk(n + 1) ,k≥ 2 }成立且不超过x的n的个数为 x(loglogx) -2 .5。

关于乘法分拆数上界的一个注记

设f（n）表示分解自然数n为大于1的整数因子乘积的所有方式的数目，用初等简洁的方法改进了f（n）的上界，证明了若n∈P，P^2，则f（n）≤n/（q（n）-1）p（n）,其中p（n）,q（n）分别为n的最大素因子与最小素因子。

子群c─正规性对群结构的影响

群 G的一个子群 H称为在 G中 c正规 ,如果存在一个正规子群 K ,使得 G=H K且 H∩ G≤ HG,其中 HG=Core G( H ) =∩ x∈ GHx 是包含在 H中的 G的最大正规子群 .该文利用子群 c正规性给出一个群为可解群的一些条件 ,主要定理有 :1 )设 G为群 ,若存在 P∈ Syl2 ( G) ,P为 c 正规于 G,则 G可解 ;2 )设N为群 G的非单位正规子群 ,则 N可解当且仅当 G的任意不包含 N的极大子群 M为 c正规于

1998中国数学奥林匹克

第一天 （1998-01-12 8:00～12:30,广州） 一、在一个非钝角△ABC中,AB】AC,∠B=45°,O和I分别是△ABC的外心和内心,且21/2OI=AB-AC.求sinA （黄宣国 供题） 二、对于给定的大于1的正整数n,是否存在2n个两两不同的正整数a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,同时满足以下两个条件: （1）a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn;

关于n维覆盖系

整数环Z的同余覆盖系已经被研究多年 .研究了Zn 的覆盖A ={as(ms) } ks=1 ,其中as(ms) ={x =〈x1 ,… ,xn〉∶xt ≡ast(modmst) (t=1,… ,n) } ;推广了关于Z的同余覆盖的一些经典结果 ,特别地证明了下述结果 :设每个x∈Zn 被A覆盖恰好m次且诸模ms 不全相同 ,如果mr 是除性极大模 (即mr|ms mr=ms) ,那么模mr 在m1 ,… ,mk 中至少重复出现 p次 ,这儿 p是mr1 …mrn的最小素因子 .

试论P~τq阶群的一些性质

本文从以下两个方面探讨了p^tq阶群的一些性质:

有限群的极小子群与p-幂零性

有限群 G的子群 H称为在 G中是 c-可补的（c-supplemented in G）,如果存在 G的子群 K,使得 G=HK且 H∩K≤ core（H）.获得了如下结论:设 G是与S4无关的有限群,如果P∩GN的每一极小子群均在NG（P）中c-可补,且当p=2时P与四元素群无关,则G是P-幂零的.这里P是G的阶的最小素因子,P是G的SylOW P-子群.作为这一结果的应用,一些已知的结果被推广.

关于乘法分拆的数目

设n为大于1的自然数。令f(n)表示分解n为大于1的整数因子乘积的所有方式的数目,此处不计因子的顺序。并且令f(1)=1。例如f(18)=4,因为18=9.2=6.3=3.3.2。 1983年,Hughes和shallit证明了f(n)≤2n^(2^(1/2)),一并且提出了两个猜想:

关于有限群的一个组合问题

设ｐ是有限群Ｇ之阶ｎ的最小素因子，Ｇ之运算用“＋”来记（但不必可换），又设，本文证明了当Ｇ为幂零群及其它某些类型的群时，是满足下面条件的最小正整数：凡Ｇ的不含零元的元子集均使得Ｇ之每一个元ｇ都可表成ｇ＝ａ＿（ｉ１）＋…＋ａ＿（ｉ１），诸ｉ＿ｊ互异．