关于E^n中有限点集的最近任意维平面

在En 中 ,与给定有限点集中点的距离的平方和取值最小的k维平面称作该点集的最近k维平面 .该文证明 ,有限点集的最近k维平面有如下性质 :En 中有限点集 {Ai(x1i,x2i,… ,xni) ｜i =1,2 ,… ,m}的最近k( 1≤k≤n- 1)维平面π是通过该点集的重心G( g1,g2 ,… ,gn) ,由矩阵C的前k个最大特征值λ1,λ2 ,… ,λk 对应的k个线性无关的特征向量确定的平面 ,且点集中点到其最近k维平面π的距离的平方和S(π)为S(π) =∑ni =k+1λi.这里λ1≥λ2 ≥…≥λk ≥λk+ 1≥…≥λn,λi(i=1,2 ,… ,n)是矩阵C的特征值 ,C =(cij) n×n,cij =∑mk=1(xik- gi) (xjk- gj) (i,j =1,2 ,… ,n) .