无穷区间上分数阶带p-Laplacian算子微分方程积分共振边值问题解的存在性（英文）

利用Mawhin连续性定理,讨论一类分数阶p-Laplacian微分方程积分共振边值问题在无穷区间上解的存在性,并举例说明主要结果.

一类分数阶Laplace算子方程解的正则性

证明了在临界条件和非临界条件下非线性椭圆方程(-Δ)su+cu=h inΩu=0onΩ的解以及下解u∈H的正则性:在非临界条件下,解是属于L∞(Ω)的,并得到了解的先验估计;在临界条件下,若u∈H为下解,则u+∈Lq*(Ω)。其中(-Δ)s表示分数阶Laplace算子,ΩRN,N≥2,是一个光滑有界域,c,h∈Lq(Ω),q≥N2s,1q*=1[]q-2sN。

有界区间上随机分数阶反应扩散方程鞅解的存在性

有界区间上随机分数阶反应扩散方程在分数阶非相对量子力学中起到很重要的作用.由于噪声和有界区间上分数阶Laplace算子的扰动和影响,使随机分数阶反应扩散方程的研究变得复杂.通过引入一个适当的加权函数来构造加权空间,运用算子理论来克服有界区间上的分数阶Laplace算子带来的困难.运用Prokhorov定理和Skorokhod嵌入定理来解决噪声带给系统的通常紧性不成立的收敛问题.利用It公式和一系列精致的不等式技巧,以及Galerkin方法,最终获得系统鞅解的存在性.

带有分数阶Laplace算子的偏微分方程解的存在性研究进展

带有分数阶Laplace算子的偏微分方程是一类典型的分数阶偏微分方程,它在科学及工程领域有着重要的应用.分数阶Laplace算子是一类非局部拟微分算子,是Lévy稳态过程的无穷小生成元,它与经典的Laplace算子有着本质的区别,从而导致一些经典性质的消失,这就给此类问题的研究带来困难.一般来说,求解带有分数阶Laplace算子的偏微分方程的显式解是十分困难的.因此,研究带有分数阶Laplace算子的偏微分方程解的存在性是一项具有现实意义但又具有挑战性的工作.本文主要简述几类带有分数阶Laplace算子的偏微分方程解的存在性的研究进展与动态,其中也包括了作者近年来在这一领域所做的部分工作.

Laplace算子特征值和的精细下界

该文研究了R^(n)中Laplace算子在有界域Ω上的Dirichlet特征值和的下界.众所周知:第k个Dirichlet特征值λk(Ω)服从Weyl渐近公式,即λk(Ω)~4π^(2)/[wnV(Ω)]^(2)/nk^(2)/n当k→∞时,其中wn和V(Ω)分别为是R^(n)中n维单位球的体积和Ω的体积.根据上述公式,Pólya猜测λk(Ω)≥4π2/[wnV(Ω)]2/nk^(2)/n,■k∈N.这就是著名的Pólya猜想.对这一问题的研究由来已久,已有很多的工作.特别是,近几十年来最显著的成就之一是由Berezin[4],以及李伟光和丘成桐[3]分别独立取得的.他们部分解决了Pólya猜想,只是多了一个因子n/(n+2).后来,Melas^([7])改进了Berezin-Li-Yau的估计,在不等式右边增加了一个正的k阶项.该文采用与Melas几乎相同的论证,进一步完善了Melas的估计.

利用Laplace变换求解分数阶Allen-Cahn方程

考虑Caputo型分数阶Allen-Cahn方程的高效数值算法,利用Laplace变换将其转化为整数阶Allen-Cahn方程.利用算子分裂方法进一步将其分解为热传导方程和非线性方程.其中,非线性方程精确求解,热传导方程采用二阶差分方法求解.数值实验表明了所给格式的有效性.

分数阶Laplace方程组的山路解

对一类非线性分数阶Laplace方程组Dirichlet问题非平凡解以及正解的存在性分别进行了研究.针对非线性分数阶Laplace方程组在满足Dirichlet边值条件下所具有的特征,通过定义能量空间,然后在该空间中利用Sobolev嵌入定理、控制收敛定理、Brezis-Leb引理,证明分数阶方程组的能量泛函满足Palais-Smale紧性条件,最后利用分数阶Sobolev空间中的山路引理,得出方程组存在非平凡临界点,也即得出这类非线性分数阶Laplace方程组Dirichlet问题存在非平凡解的结论.此外,还利用Nehari流形、极小能量法,通过比较能量法得出一类耦合的非线性分数阶Laplace方程组Dirichlet问题存在正解需要满足的条件,进而得出这类分数阶Laplace方程组存在正解的结论.

带Hardy位势分数阶Laplace方程解的单调性

研究了半空间上带Hardy位势的分数阶Laplace方程的De Giorgi型边值问题.运用sliding方法,证明了解的单调性.

一类分数阶p-Laplacian边值问题的正解

本文运用单调有界原理和一个算子不动点定理研究一类分数阶p-Laplacian边值问题正解的存在性,并且给出了正解的迭代序列.

局部有界函数的Picard算子收敛阶的估计

对局部有界函数f的Picard算子在区间(-∞,+∞)上的收敛阶进行估计。在蔡清波等人关于Picard算子的收敛阶研究基础上,对其所给的估计结果作进一步改进,得到更精确的系数估计。

无穷区间上分数阶微分方程m-点边值问题的正解

利用半序Banach空间中两个算子之和的不动点定理,证明一类无穷区间上分数阶微分方程m-点边值问题正解的存在唯一性,并通过实例给出其应用.

sliding方法研究一类分数阶Choquard型方程正解的单调性

对含分数阶Laplace算子的一类Choquard型方程的De Giorgi型边值问题进行了研究,运用sliding方法得到了方程正解在整个空间上的单调性.

一类Kirchhoff型分数阶随机反应扩散方程组弱解的存在性

研究一类Kirchhoff型分数阶随机反应扩散方程组初边值问题.由于存在分数阶微分算子和非线性随机项,这类问题的解相对复杂.首先把问题改写为Ito随机积分方程初值问题,其次对非线性项作合理假设,最后利用Galerkin方法证明了弱解的存在唯一性.证明的过程中利用了分数阶Sobolev空间的性质、分数阶Laplace算子的性质及极大增殖算子的Crandal-Liggett定理等相关结论.进一步,推广了文献的结论.

空间分数阶Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式

基于算子分裂思想,将空间分数阶Allen-Cahn方程分解为非线性方程和分数阶热传导方程,其中,非线性方程有解析解,分数阶热传导方程可利用生成函数的方法结合Crank-Nicolson格式建立差分格式.通过数值算例验证格式的有效性.结果表明:空间分数阶Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式具有稳定性、收敛性及有效性.

一类具有对数非线性项的分数阶阻尼波方程的局部适定性

本文主要考虑具有对数非线性项的分数阶阻尼波动方程的初边值 问题,其中s ∈ (0, 1)。 算子(−∆)s为分数阶Laplace算子,近年来,该算子成为了物理学、 金融数 学、 流体动力学等学科领域中的研究热点。 本文在任意初始能量下,利用Galerkin逼近法和压缩映射原理,证明该方程解的局部适定性。

具分数阶Laplace算子的非线性椭圆方程解的存在性

为了研究一类具分数阶Laplace算子的非线性椭圆方程解的存在性问题,首先利用积分等价方程和压缩映射原理证明了该方程解的存在唯一性,进一步地,通过取特殊值和恰当的分段函数再利用Matlab编程得到了该方程在(0,0,0)处数值解的近似值.最后利用Picard序列、数学归纳法和反证法证明了方程的解的一些性质.

一类分数阶微分方程的本征值问题

利用分数次导数的定义、分数算子的性质和Laplace变换,得到了一类分数阶微分方程本征值问题的本征值和本征函数.

一类分数阶Schrdinger-Possion方程组的Pohozaev等式

建立了一类分数阶Schrdinger-Possion方程组的Pohozaev等式,利用临界点理论的方法,把一类分数阶Schrdinger-Possion方程组问题转化为具有非线性Neumann边值条件的椭圆方程组的问题,从而改进了经典的半线性情形的相应结论.

有界区间上的随机非局部Ginzburg-Landau方程

研究有界区间上随机非局部Ginzburg-Landau方程.通过在适当的加权空间上考虑,克服有界区间上非局部Laplace算子带来的困难,运用一系列精致估计获得系统的某些有界性,利用胎紧解决噪声给系统带来的通常意义下的紧性问题,最终利用Skorokhod定理以及鞅表示定理获得系统鞅解的存在性.

时空分数阶波方程解的渐近性与长时间行为

研究带分数阶Laplace算子的时间-空间分数阶偏微分方程解的渐近性,其中时间分数阶导数是在Caputo导数意义下,其导数阶α∈(1,2).利用Fox H-函数的性质和Young不等式给出了解的梯度估计,并且研究了其长时间行为.