不可压理想流体在有角点区域边界上的速度估计

考虑有一个角被对称轴等分的对称有角点平面区域上的Euler方程.通过优化Kiselev和Zlatos的方法,在被等分角附近,垫一个有明确公式的正调和函数,在区域的格林函数下面,得到角点附近边界上流体速度的下界估计.当流体趋向角点时,下界估计趋于0,且角点处内角越大,下界估计越大.我们得到如下结论:第一,若角点处的内角大于π,则有光滑的初始涡量函数,使得没有全局光滑解以它为初值.第二,若内角不大于π,我们证明弱解的“涡量梯度”可以达到某些依赖于内角大小的增长率.类似的结果在非光滑区域上是稀缺的.

一个二维有角区域上Euler流涡量梯度的增长

研究一个二维有角点区域上的欧拉方程组弱解涡量的Lipschitz商的增长。通过明确写出区域上的格林函数以及速度场的Biot-Savart公式,对某一弱解估计角点附近边界上流体的速度,从而得到其涡量的Lipschitz商可以达到t1/2的增长速度。这与Itoh T等的研究成果中正方形上弱解涡量的Lipschitz商在角点附近的增长上界的结果互补,是关于有角点区域上弱解涡量的Lipschitz商少有的结果。