有限链环上的循环码及其Mattson-Solomn多项式

研究了有限链环上的循环码的结构及其Mattson-Solomn多项式.用循环码的Mattson-Solomn多项式和定义集刻画循环码及其对偶码的性质.

有限链环上循环码的深度分布

研究有限链环R上长为n(n不整除R的剩余域R珚的特征)的循环码的深度分布.根据有限链环R上循环码的生成多项式,从差分运算的线性性质及有限链环上循环码的同构关系出发,给出了有限链环上R上长为n的循环码的深度谱.

有限链环R=F_p[u]/上长为p^sn对偶码结构

为促进有限链环上循环码的编、译码在工程上的应用,研究了有限链环R=F p[u]/<uk>上长为psn重根循环码的对偶码的结构,利用有限链环R中的MS多项式,给出了扩环中的埃尔米特内积与环R中离散傅里叶变换系数之间的关系,并证明了码C的对偶码为C的零化子在共轭映射下的像,最终获得了环R上长为psn对偶码的结构.从而为有限链环R=F p[u]/<uk>上的编码和译码应用研究提供了理论依据,同时也为利用纠错码构造在实际应用中可行的具有抗量子特性的轻密码算法奠定了基础.

有限链环上线性码和循环码的结构

设R是有限链环,R上长度为n的线性码C等同于模Rn的子模,循环码等同于R[x]/(xn-1)的理想.定义C[γi]={x|x∈C,γix=0},那么C[γi]是Rn的子模,且C[γi]/C[γi-1]是自由模.进一步当C是循环码时,C[γi]/C[γi-1]同构于K[x]/(xn-1)的某个理想.由此出发,给出了有限链环上线性码的结构和循环码的结构,证明并拓广了Norton的有关结论.

有限链环上长为lp^s的重根常循环码

给出了当λ∈F*pm和λ=c0+γc1+…+γe-1ce-1时有限链环上长为lps的重根λ-常循环码的结构.

有限链环Galois扩张上的迹码及应用

本文给出了有限链环Galois扩张的相关理论,并定义了其Galois扩环上的迹码以及子环子码的概念。证明了有限链环Galois扩环上的对偶码的迹是该扩环上子环子码的对偶码,并给出了有限链环上一类参数为[plm-1,m,(pl-1)pl(m-1)]的线性码。

有限链环上一类常循环码的距离

在编码理论中,线性码的(最小)距离是一个极其重要的参数,它决定了码的纠错能力。设R为任一有限交换链环,a为其最大理想的一个生成元,R~*为R的乘法单位群。对于任意w?R~*,该文利用R上任意长度的(1+aw)-常循环码的生成结构,通过计算这类码的高阶挠码,得到了R上任意长度的(1+aw)-常循环码的汉明距离,并研究了这类常循环码的齐次距离。这给编译有限链环上此类常循环码提供了重要的理论依据。

有限链环上的双λ-常循环码

设R是一个指数为2且极大理想为γ()的有限链环.设λ是R的一个单位.R上码长为r(,s)的一个双λ-常循环码是划分为两部分的一个集合,并且对这两部分进行λ-常循环移位保持码不变.这些码可以看作是R[x]/(xr-λ)×R[x]/(xs-λ)的R[x]-子模.本文确定了R[x]/(xr-λ)×R[x]/(xs-λ)的R[x]-子模这类码的生成多项式,给出了R[x]/(xr-λ)×R[x]/(xs-λ)的R[x]-子模这类码的极小生成元集.举例表明了通过这类码可以得到有限域上一些比较好的线性码.

有限链环上循环码的重量分布

线性码的重量分布是编码理论的重要研究问题.少重量线性码在构造认证码、具有良好结构的秘密共享方案、结合方案、常量成份码、强正则图等有着广泛应用.设有限链环R=F_(q)+uF_(q),其中q是奇素数的幂次,F_(q)为q元有限域且u^(2)=0.文章利用有限链环R的两个扩环构造了R上的一类循环码,通过有限域上的高斯和理论给出了这类循环码的重量分布.作为应用,通过Gray映射构造了有限域上一类最优三重量线性码,并证明它是极小的.

有限链环上循环码与负循环码的生成多项式

从另一种角度研究了有限链环上循环码.给出了这种环上循环码的构造由这种构造得到了有限链环上的循环码的生成多项式.借助有限链环上循环码与负循环码的同构,也得到了这种环上循环码的生成元.

有限非链环上几类常循环码构造量子码

文章研究有限非链环R=F_(q)+uF_(q)+vF_(q)+uvF_(q)的性质结构,其中u^(2)=u,v^(2)=v,uv=vu,且q=p^(m),p≠3为奇素数,m为正整数;引入一个新的从R到F_(q)^(4)的Gray映射,给出环R上线性码的Gray象为自正交码的条件;证明有限非链环R上几类常循环码可分解成不同循环码和负循环码的组合,并利用其构造量子码,得到在极小距离、维数、码率等参数都有改进的量子码。

有限非链环F_(p^m)+vF_(p^m)上循环码的迹码和子环子码

给出了有限非链环F_(p^m)+vF_(p^m)的Galois扩环相关理论,明确了有限非链环F_(p^m)+vF_(p^m)上循环码的迹码和子环子码的生成元结构.

一类有限非链环上的循环码及其Gray映射

有限非链环上的循环码是一类非常重要的线性码,近年来得到许多编码爱好者的广泛关注和研究,构造出了许多具有良好参数的最优码。有限非链环F_(2)+vF_(2)+uF_(2)+uvF_(2)(其中u2=0,v^(2)=v,uv=vu)上循环码在对抗量子通信中因消相干而产生噪声问题上具有良好的纠错功能。定义了有限非链环F_(2)+vF_(2)+uF_(2)+uvF_(2)到二元域上准循环码的Gray映射,并证明其为保距映射。研究得出环上循环码的生成多项式和幂等生成元的结构,通过所定义的Gray映射得出其上极小距离的计算方法。最后举例说明二元域上的准循环最优码的构造方法。

有限环上r-MDR码与r-MDS码

本文研究了有限环上r-MDR码与r-MDS码.利用主理想环CRT(R_1,R_2,…,R_s)上的r-MDR码或P_r-MDS码CRT(C_1,C_2,…,C_s),得到了某个链环R_i上的码C_i也是r-MDR码或P_r-MDR码.特别地,对于有限链环上的码C,给出了它的挠码Tor_i(C)为r-MDR码与r-MDS码的条件.

一种2^(m)元域上量子纠错码的构造方法

构造具有良好参数的量子码是量子纠错码研究的重要内容。该文利用有限非链环R=F_(4m)+vF_(4m)上的厄米特对偶包含常循环码来构造2^(m)元量子码。定义了一种新的Gray映射φ,能够将环R上线性码C的厄米特对偶包含性保持到φ(C)上。研究了环R上常循环码是厄米特对偶包含码的条件。给出了一种构造2m元量子码的方法,并构造了一些新的4元和8元量子码。

环Fq＋uFq＋…＋u^k-1Fq上一类重根常循环码

记R=F_q+uF_q+…+u^(k-1)F_q,G=R[x]/<x^t-α>,且λ是R中可逆元。定义了从G^n到R^tn的新的Gray映射φ,证明了J是G上长为n的线性的x-常循环码当且仅当φ(J)是R上长为tn的线性的α-常循环码。使用有限环理论,获得了环R上长为p^e的所有的(uλ-1)-常循环码的结构及其码字个数。特别地,获得了环F2m+uF上长为2~e的(uλ-1)-常循环码的对偶码的结构及其码字个数。推广了环2aZ上重根负循环码的若干结果。

环Fp^k+uFp^k上的一类常循环码

常循环码是一类重要的纠错码,文章讨论了环Fpk+uFpk上长为n的(1+αu)-循环码、(ξi+αu)-循环码的置换等价性,并得出2种循环码的Gray像均置换等价于Fpk上长为pkn、指数为pk-1的准循环码。

环F_(p^m)+uF_(p^m)+vF_(p^m)+uvF_(p^m)上长为2p^s的(λu-1)-常循环码

将环Fpm+u Fpm+v Fpm+uv Fpm上长为2ps的(λu-1)-常循环码分为4种不同类型的理想,其中,p≡3(mod4)且m为奇数.定义了该环上常循环码的扭码和剩余码,并由此得到了该环上长为2ps的(λu-1)-常循环码的计数.

环F2＋uF2上长为2^e的（1＋u）-循环码

最近,环F2+uF2上的线性码引起了编码研究者极大的兴趣.本文证明了R[x]/〈xn+1+u〉是有限链环,其中R=F2+uF2=F2[u]/〈u2〉且n=2e.从而给出了F2+uF2上的所有长为2e的(1+u)-循环码,进而给出了所有(1+u)-循环码的对偶码.证明了F2+uF2上不存在长为2e的非平凡的自对偶的(1+u)-循环码.

环IF_pm[u]/〈u^a〉上一类常循环码

本文研究有限链环上一类λ-常循环码.利用x^n-1在R_a[x]上可唯一分解为两两互素的首一基本不可约多项式乘积,刻画了R_a中长为p^sn的所有λ-常循环码,推广了开晓山等人在文献[4]中的结果.