用同余理论证明数的整除

在数的整除理论中,经常要判断一个数能否被另一个数整除.虽然用初等方法也能证明判断的正确性,但用同余理论解决这类问题,更是简捷明了,而且有一定的高度.在这里,我们将不加证明也反复用到如下事实:1.设bi（i=1,2,……,n）C都是整数,若对于i的每一个可能值都有c|bi,则c|sum from i=1(b?)2.设a、b、c、m】0,n】0都是整数,若a≡b（modm）,则有an≡bn（modm）及ac≡bc（modm）.3.设a1 b1及m】0均为整数,若ai≡bi（modm）,i=1,2,…n则有sum from i=1（ai）≡sum from i=1（bi）（modm）及multiply from i=1（ai）（modm）例1,任何一个整数a=anan-1…a1a1（a0、 a1、…依次是这个n+1位整数的个位、十位、…上的数字,0≤ai【10,a≠0.下同）都可以用科学计数法写成如下形式.a=an×10n十an-1×10n-1十…a1×10十a0.上式右边的 n十1项中,前n项都能被2或5整除,那么,a能否被2或5整除就取决于最后一项 a0了.因此,只要a的个位数字是0,2,4,6,8中的一个,a就能使2整除,只要a的个位数字是0或5,a就能被5整除.用同余理论,这一事实可证明如下:

齐次丢番图方程（x＋gk）~T=（x＋gn）~r

用初等方法证明了：当ｎ，ｘ，ｒ为正整数目ｒ＞３，ｓ为非负整数，ｇ＝８０ｓ＋６，ｇｃｄ（ｘ，ｇ）＝１，丢番图方程无整数解。