关于本原奇异数的注记(英文)

设S={x1,x2,…,xn}是由n个不同正整数的集合.以S中的任意两个元xi,xj,i=1,2,…,n,j=1,2,…,n的最小公倍数为i行j列元素的矩阵称为S上的最小公倍数矩阵(LCM矩阵),记为[S].S称为最大公因子封闭集(GCD closed),如果对于S中任意两个元xi,xj,它们的最大公因子(xi,xj)∈S.1992年,Bourque和Ligh猜想(以下简称BL猜想)GCD封闭集S上的LCM矩阵是非奇异的.1999年,Hong证明了该猜想对n≤7成立,但n≥8时不真,即对任意n≥8,存在GCD封闭的矩阵S使得Det[S]=0.为了进一步研究BL猜想成立的条件,2005年,Hong提出了GCD封闭集S上的奇异数的概念,一个数x称为奇异数,如果存在正数n≥8及GCD封闭集S={x1,x2,…,xn},x1<x2<…<xn=x使得Det[S]=0.如果x不是奇异数,则称之为非奇异数.另外,x称为本原奇异数,如果x是奇异数,但x的任何非平凡因子均为非奇异数.Hong指出180是第一个本原奇异数.本文作者证明了270是第二个,从而定义在GCD封闭集S={x1,x2,…,xn},180<xi<270,i=1,2,…,n上的LCM矩阵是非奇异的.

不存在形如p^4qr的偶本原奇异数

洪绍方等人于2006年证明了不存在形如pqr,p^2qr的偶本原奇异数以及270和520是仅有的形如p^3qr的偶本原奇异数.在本文中,利用洪绍方的方法,作者证明了不存在形如p^4qr的偶本原奇异数.

非奇异相对本原环

给出了一个非奇异环何时有本原分式环的一个充分必要条件 ,从而推广了JOHNSON和