丢番图方程a^2+Db^2=c^2本原解组数的渐近阶(I)

设 x为给定的正实数 ,D是给定的正整数且无平方因子 ,用 G( D,x)表示丢番图方程 a2 +Db2 =c2满足条件 a >0 ,b>0 ,c>0 ,( a,b) =1且 c≤ x的所有整数解 ( a,b,c)的组数 .在此考虑 D =p和 D =2 p(其中 p为奇素数 )的情形 ,得到了下面两个渐近估计式 G( p,x) =2 p( p +1 )πx +O x12 logx 和 G( 2 p,x) =2 p( p +1 )πx +O x12 logx .

不定方程x^(2)+y^(4)=z^(n)的一类非本原解

运用初等方法证明了对于任何正奇数n,不定方程x2+y4=zn都有无穷多组正整数解(x,y,z),并且给出了该方程的一类非本原解(x,y,z).

Diophantine方程x^n+y^n=z^(φ(n))的本原解

设n是正整数,φ(n)是Euler函数.证明了方程xn+yn=zφ(n)当且仅当n≤3时有正整数解(x,y,z)适合gcd(x,y)=1.

椭圆Diophantine方程(x+p)(x^2+p^2)=y^2的本原解

设p是素数.在此给出了方程(x+p)(x2+p2)=y2有适合gcd(x,y)=1且y为奇数的正整数解(x,y)的充要条件.

Diophantione方程x^(d(n))+y^(d(n))=z^(φ(n))的本原解

对于正整数n,设d(n)和φ(n)分别是除数的函数和Euler函数,又设p是奇素数.证明了:当n=1,2,4或p时,方程xd(n)+yd(n)=zφ(n)有无穷多组本原解(x,y,z);当n≠1,2,4,p或p2时,该方程无本原解(x,y,z).

不定方程a^4+b^2=c^2本原解组数的渐近阶

研究了不定方程 a4+b2 =c2 的整数解的组数 ,并得到它的一个渐近估计式 .

方程(x^2+y^2)/(xy+1)^(1/2)=k的非本原解

运用Pell方程的性质证明了:对于任何大于1的正整数k,方程(x^2+y^2)/(xy+1)^(1/2)=k都有无穷多组正整数解(x,y).并且在k是素数的情况下,给出了该方程所有非本原解(x,y).

不定方程x^2+my^2=z^2在多项式环中的正本原解

利用不定方程本原解的概念,多项式环的有关性质,研究了不定方程x2+my2=z2在多项式环R[x]中的本原解,得到了在多项式环R[x]中,任意首项系数为正数的多项式f(x),必有R[x]中首项系数为正数的多项式g(x),h(x),使得f(x)=g(x)2+m.h(x)2,其中m为正整数。

不定方程x^2+my^2=z^2在m无平方因子时的正本原解

利用初等数论的方法研究不定方程x2 +my2 =z2 的正本原解,获得了该方程在m无方因数时的全部正本原解的公式。

丢番图方程a^2+Db^2=c^2本原解组数的渐近阶(Ⅱ)

设x为给定的正实数,D是给定的正整数且无平方因子,用G(D,x)表示丢番图方程a2+Db2=c2满足条件a>0,b>0,c>0,(a,b)=1且c≤x的所有整数解(a,b,c)的组数.在此考虑D=P和D=2P(其中P=p1p2…pk为互异的奇素数的乘积)的情形,得到渐近估计式G(P,x)=d(P)Pσ(P)πx+Ox12logx和G(2P,x)=d(P)2P2σ(P)πx+Ox12logx.

x^2+y^2=z^2本原解的素数定理

寻找不定方程x2+y2=z2本原解个数的计算公式,对解不定方程x2+y2=z2是十分有意义的.在解决这一问题的过程中,又进一步发现了不定方程x2+y2=z2本原解个数的奇偶性与4k+3形式的素数有着十分密切的联系,得到4k+3形式的素数定理.

Diophantine方程x^3+8=py^2有本原正整数解的必要条件

设p是奇素数.运用Pell方程的性质证明了:如果方程x^3+8=py^2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y),则必有p≡1,7(mod 24).

方程x^3-8=py^2有本原正整数解的判别条件

设p是适合p≡1(mod6)的奇素数.根据二次Diophantine方程的性质,运用初等方法给出了方程x3-8=py2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的新的判别条件.当p≡1或7(mod24)时,该方程无解;当p≡13(mod24)时,该方程有解(x,y)=(3r2+2,3rs),其中s是适合ps2=3r4+6r2+1的正整数;当p≡19(mod24)时,该方程有解(x,y)=(r2+2,rs),其中s是适合ps2=r4+6r2+12的正整数.

Diophantine方程组x^2-Dy^2=s^2和x^2-(D+2)y^2=-t^2有本原整数解的必要条件

证明了:若D是无平方因子正奇数,当D■3(mod 4)时,方程组x2-Dy2=s2和x2-(D+2)y2=-t2没有本原整数解(x,y,s,t).

x^2+y^2=N^2正整数解的结构与求法

研究勾股方程给定正整数N时,方程是否有解,有几组解,怎样求解.在证明N的解与N的因数的基本解和本原解三者之间存在着一一对应关系的基础上,利用素数的本原解和两组本原解的勾股积运算,经逐次递推,导出了计算N的各种不同类型因数的本原解的计算方法,得到了计算任意N的所有解的简捷方法,并给出了计算全部解的组数的初等公式.填补了多年来研究勾股数的一个空白.

不定方程x_1~2+x_2~2+…+x_k^2=w的系列解研究

采用归纳的方法对不定方程x12+x22+…+xk2=w所包含的一类方程x12+x22+…+xk2=z2(k≥2)及另一类方程x21+x22=zn(n≥2)推导出系列解的模式。这些解有本原解,也有非本原解。

Pell方程x^2-(a^2-1)y^2=k的解集

应用本原解、解数列等概念,完整、清晰地表述了形如x2-(a2-1)y2=k(k∈Z,k≠0,a≥2)型Pell方程的整数解集.

二次齐次丢番图方程sum from i=1 a_ix_i^2=by^2全部整数解

勾股定理(即毕达格拉斯定理)的全部整数解表达式有无穷多种,目前常用的勾股定理全部整数解表达式,不过是其中最简通解式而已。Legendre方程,二次齐次丢番图方程若有一组非全零整数解,则有无穷组整数解,并且全部整数解的表达式有无穷多种。给出其全部本原解,全部整数解的通解式。

不定方程y^3=x^2+2的初等解法

本文给出了不定方程ｙ３＝ｘ２＋２的初等解法