1990年第4期问题

221.以锐角△ABC的BC边为直径作圆,交AB、AC于E、D,若ED=BE+CD,试证:ED将△ABC的面积和周长分成的上、下两部分之比都等于ctg^2A.222.给定两个圆。

第20届全俄数学奥林匹克见闻

1994年4月14日至26日,我们上海中学生代表团参加了在俄罗斯特维尔市举行的第20届全俄罗斯中学数学奥林匹克。 我们一行8人(领队:章淳立、吕乃刚、李大元老师。成员:张健(建平中学,高三),朱安(女,格致中学,高三),姚一隽(复旦大学附中,高二),夏晨江(复旦大学附中,高二),江栋华(上海中学,高二))于4月14日由上海出发,乘飞机经北京、莫斯科,飞行了近10个小时于莫斯科时间15日凌晨1时抵达特维尔市。当晚,由于时差的关系加上兴奋。

数学问题与解答

236.如图1,在半径为1的球中,大圆AMB所在的平面和小圆BNC所在的平面成45°角,AB是大圆直径,BC是小圆直径,M、N分别是AB、BC的中点,且M、N在平面ABC同侧,求AM和BN所成的角。解:把大圆AMB和小圆BNC移到成45°角的二面角α-ι-β内(ι即为两圆的公切线)。设MM′为大圆O的直径,则BM′//AM,∠NBM′为所求角,如图2。

数学问题与解答 1990年第6期问题解答

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1993年上海市高三数学竞赛

第一试 满分120分,只填最后的结果 1.已知x∈N,且31/2位于（x+3）/x和（x+4）/（x+1）之间。则x=<sub><sub><sub><sub><sub><sub>。 2.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于不同的两点A,B,抛物线的顶点为C。若△ABC是等腰直角三角形,则b2-4ac=<sub><sub><sub><sub><sub><sub>。 3.已知方程x2+（a-2）x+a+1=0的两实根为x1,x2,而点（x1,x2）在圆x2+y2=4上,则实数a=<sub><sub><sub><sub><sub><sub>。

数学问题与解答

271.△ABC的内切圆⊙O切BC、CA、AB于A′、B′、C′,过O点分别作△A′B′C′各边的平行线,它们在BC、CA、AB上截得的线段分别为EF、MN、PQ,试证: EF/BC+MN/CA+PQ/AB=1。证:如图1,连OC、QE、MF。由EN∥A′B′和OC⊥A′B′得OC⊥EN。但OC平分∠ECN,故ON=OE。同理,OM=OQ,所以,△OMN≌OQE,EQ(?)MN。同理得到FM(?)PQ。于是有△QBE∽△ABC∽△MFC。于是 MN/CA=QE/CA=BE/BC,