立足本手 巧构妙手 释疑俗手--以一道对称双变量条件最值问题为例

2022年语文新高考Ⅰ卷以围棋的三个术语“本手、妙手、俗手”为作文题目,其中本手是指合乎棋理的正规下法;妙手是指出人意料的精妙下法;俗手是指貌似合理,而从全局看通常会受损的下法.笔者由此想到,在数学的解题教学过程中,不也会经常遇到的正规解法、精妙解法、以及貌似合理却错误的解法吗?笔者便从“本手、俗手、妙手”三个角度分别入手,来探究一道对称双变量条件最值问题,现整理如下,以飨读者.

一类条件最值问题的快速解法

基本不等式是求解函数最值问题的一个有效工具,不仅是高中数学教学的重点,而且是高考考查的一个热点.然而,学生在应用基本不等式求最值时,往往因为不知如何获取“和为定值”或“积为定值”导致无法运用基本不等式正确求解出最值.而灵活应用已知条件去构造、去变形从而获得“定值”又是此类问题的难点.针对学生不能灵活获取“定值”的实际,笔者在教学实践中,探寻了一种既能降低构造“定值”这个难点,同时又能快速准确求出一类条件最值问题,本文将结合教学实践,例说此类条件最值问题的快速解法.

一道条件最值问题的多解研究

一、问题与分析题目已知a>0,b>0,且a+b=4,求(a+1/a)(b+1/b)的最小值.分析:该试题是一个条件最值问题,在教学活动中发现,学生在解决该问题的过程中存在较多的问题,如对基本不等式使用的前提条件掌握不到位,对基本不等式的取等条件不清楚,因此大多数同学在解答的过程中出现了多种错误答案.从问题的条件和结论来看,该试题的条件简洁,需要求解的问题结构高度对称.从问题解决的过程来看,该试题的解法多样,能够满足不同层次学生的训练需要.因此,该试题非常适合用于一题多解的数学教学活动,这对培养学生的创造性思维具有重要的价值和意义.

从一道高考题看二元条件最值问题的求解策略

案例：若实数x、y满足4x2＋y2＋xy=1，则2x＋y的最本值是——．

一类条件最值问题的再研究

条件最值问题已知实数x、y满足ax^2+bxy+cy^2=d(其中a、c、d均为正常数,b为实常数,且△=b^2-4ac<0),求z=mx+ny(m、n为实常数)的最值.这是众多期刊探究的一类热点问题.例如,

一个条件最值问题的推广及应用

问题:已知:a,b是正常数,x,y是正变数,a/x+b/y=1,求证:x+y的最小值是((√a)+(√b))2,这是我们所熟悉的一个条件最值问题,本文将它进行推广.

多元条件最值问题的常见策略

多元条件最值问题是高中数学竞赛的一个热点问题，在联赛、冬令营等高层次竞赛中占据了极为重要的位置．而它本身对解题者提出的思维要求也是很高的，不同的条件最值问题基本上都有不同的技巧，这一点只有通过做题才能体会．但是总体来说，这一类问题还是有一定的规律可循的．笔者主要介绍多元条件最值问题的几种常见策略．

简解一类条件最值问题

《数学通讯》（上半月）2010年第1—2期“问题征解”栏刊登的第3题为：

二元函数的条件最值问题的解几计算法

最值问题是中学数学教材中的主要内容之一.多元函数的条件最值问题可以通过约束条件使其变成一元函数的最值问题求解.本文拟给出某些二元函数条件最值问题的两种简捷、明晰的解几计算方法.例1若x2＋y2=k（k〉0）,求x＋y的最大、最小值.分析：题目的几何意义十分明显,x2＋y2=k表示圆心在原点,半径为k1/2的圆.若令x＋y=m,即y=-x＋m（m为参数）,它表示斜率为-1的直线族.求x＋y的最值,即求直线和y轴交点的最高,最低位置,但因受条件的约束,该直线不能离开圆,故必切于此圆（图1）.于是得解法如下.

辨析三道条件最值问题的解法

本文将三道“相似”的条件最值问题编排在一起，希望通过对它们在解法上的分析，能够对条件最值问题的教学有所帮助．

在条件最值问题教学中体现数学思想

条件最值是中学数学中一类综合性、灵活性较强的问题。在近几年的高考中，这类问题出现的频率非常高。例如，2012年高考江苏卷数学第14、17题就是这类问题的代表。学生在解决这类问题时很难把握其规律和本质，究其原因是这类问题往往涉及方程、不等式等知识，需要把条件最值问题转化为常规的最值问题才能使问题得到解决。本文将高中常用的数学思想应用到条件最值问题的教学中，希望对学生日后的解题有所启发。

以变促变、回归常规——一类条件最值问题解题策略

代数式的条件最值问题，一直是高中数学中的常见和常考问题，在近年的高考和高三的模拟考试中经常以压轴填空题的形式出现．这一类问题往往形式新、变化多，在解决方法的选择上也非常丰富多样．我们以近期高三模拟卷中的一道压轴填空题为例，来共同领略不同切入点、不同的思考维度给我们带来的解题亮点．

一个条件最值问题的思路发现

数学解题是数学教学的重要内容.数学解题教学承担着培养学生分析问题和解决问题能力的重任,甚至可以说是培养学生"四能"的重要途径.对于数学解题教学来说,培养学生分析问题能力的关键是学生学会解题思路如何被发现.因此,解题思路的多角度发现是学生学会解题的重要标志.

一类二次型条件最值问题的两种解法

本文利用Lagrange乘数法和矩阵解法两种方法,讨论一类二次型的条件最值问题,得到了相同的结果。

一个不等式在一类条件最值问题中的应用

笔者在拙文[1]中给出了如下一个不等式并用其解决了三类条件最值问题:命题设ai,bi,ci>0,i=1,2,3,则(a1^(3)+a2^(3)+a3^(3))(c1^(3)+c2^(3)+c3^(3))≥(a_(1)b_(1)c_(1)+a_(2)b_(2)c_(2)+a_(3)b_(3)c_(3))3(*),当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3,b1/c1=b2/c2=b3/c3时等号成立。

多元函数条件最值问题的求解策略

多元函数条件最值问题是近年来各级各类竞赛和考试中的热点问题,由于此类问题往往涉及到函数、三角、数列、平面几何等方面的知识,其灵活性、综合性较强,本文就处理多元函数条件最值问题的常用求解策略予以归纳总结,以达到开阔解题思路、培养灵活运用知识进行分析解决问题的能力.