多项式剩余类环上常循环码的极小生成元集（英文）

讨论了环R=F_(p^m)[u]/〈u^k〉上码长为任意长度N=p^en的(1+λu)常循环码的极小生成元集和秩,其中u^k=0,λ是R上的单位.特别地给出了k=2且λ=1的情形,从而指出了文献[Abular T,Siap I.Constacyclic codes over F2+uF2.Journal of the Franklin Institute,2009,345:520-529]中关于极小生成元集的一个小错误.此外,基于环R上循环码和常循环码的置换等价性的分析,得到了环R上其他一些常循环码的生成多项式和极小生成元集.特别地给出了环F_(2~m)[u]/〈u^3〉上码长N为奇数和码长N≡2(mod 4)时(1+ζu^2)常循环码的生成多项式和极小生成元集,其中ζ∈F*_(2~m).

特征不为2的有限域上酉群的极小生成元集

设K=Fq2为含有q2个元素的有限域，q为奇素数的幂，*：a→a*=aq是Fq2的一个二阶自同构．本文用几何方法证明了除K为F32而n=4的情形外，Fq2上的酉群Un（V）可由2个元素生成．

关于格的极小生成元集

本文证明了格的极小生成元集一定是最小生成元集且只能是非零完全并既约元全体，证明了分配格具有最小生成元集的必要条件是它满足并无限分配律．本文还证明了完全Ｈｅｙｔｉｎｇ代数具有最小生成元集当且仅当它是强代数格，证明了完备格是强代数格当且仅当它和它的对偶格均是具有最小生成元集的分配格．

半群CSP_(n,k)的秩和k方幂等元秩

设自然数n≥3,P_(n)和S_(n)是有限链X_(n)上的部分变换半群和对称群.对任意的正整数k满足3≤k≤n,令C_(k)=g_(k)是X_(n)上的k-局部循环群且CSP_(n,k)=C_(k)∪(P_(n)\S_(n)),易证CSP_(n,k),是部分变换半群P_(n)的子半群.通过分析半群CSP_(n,k),的格林关系和幂等元,获得了半群CSP_(n,k),的极小生成集和k方幂等元极小生成集,进一步确定了半群CSP_(n,k),的秩和k方幂等元秩.

关于置换群的二元生成

本文得到了n元对称群与交错群二元生成的若干结论。

半群P_(n)^(k)的秩和平方幂等元秩

设自然数n≥3,P_(n)和S_(n)分别是有限集X_(n)={1,2,…,n}上的部分变换半群和置换群.对任意的正整数k满足1≤k≤n,令S_(k)={α∈S_(n):x∈{k+1,…,n},xα=x}.易见S_(k)是S_(n)的子群,称S_(k)是X_(n)上的k-局部置换群.再令P_(n)^(k)=S_(k)∪(P_(n)\S_(n)),易证P_(n)^(k)是部分变换半群P_(n)的子半群,通过分析半群P_(n)^(k)的格林关系和平方幂等元,获得了半群P_(n)^(k)的极小生成集和平方幂等元极小生成集.进一步确定了半群P_(n)^(k)的秩和平方幂等元秩.

半群Ink的秩和平方幂等元秩

设自然数n≥3,In和Sn是有限集Xn={1,2,…,n}上的对称逆半群和置换群。对任意的正整数k满足1≤k≤n,令Sk={α∈Sn:∀x∈{k+1,…,n},xα=x}。易见,Sk是Sn的子群,则称Sk是Xn上的k-局部置换群,再令Ink=Sk∪(In\Sn)。易证,Ink是对称逆半群In的子半群。通过分析半群 的格林关系和平方幂等元,获得了半群 的极小生成集和平方幂等元极小生成集。进一步,确定了半群Ink的秩和平方幂等元秩。

半群D_(k)P_(n)的秩和平方幂等元秩

设自然数n≥3,P_(n)和S_(n)是有限链X_(n)上的部分变换半群和对称群。对任意的正整数k满足1≤k≤n,令D_(k)是X_(n)上的k-局部二面体群,D_(k)P_(n)=D_(k)∪(P_(n)S_(n)),易证D_(k)P_(n)是部分变换半群P_(n)的子半群。通过分析半群D_(k)P_(n)的格林关系和幂等元,获得了半群D_(k)P_(n)的极小生成集和平方幂等元极小生成集,进一步,确定了半群D_(k)P_(n)的秩和平方幂等元秩。

环F_2+uF_2+u^2F_2上的常循环码

常循环码是一类重要的纠错码,本文基于(xn-1)在F2[x]上的分解,探讨了环R=F2+u F2+u2F2上任意长度的(1+λu)常循环码的极小生成元集(λ为R上的单位).通过分析该环上循环码和常循环码的置换等价性,得到了该环上码长为奇数及码长N≡2(mod 4)时(1+u2)常循环码的生成多项式和极小生成元集.

环F_q+uF_q+…+u^(s-1)F_q上的常循环码(英文)

确立了环R=Fq+uFq+…+us-1Fq上码长为奇数n的循环码与常循环码的结构,其中Fq为含有q个元素的有限域,q=pe,p(即域Fq的特征)为素数,s,e为正整数,且(n,p)=1.证明了该环上所有的理想均是主理想,给出了该环上循环码与常循环码的结构的另一种表达形式,且给出了该环上常循环码的秩与极小生成元集.

环F2＋uF2上长为2^e的重根循环码与（1＋u）-循环码的秩

通过对环F2+uF2上长为2e的重根循环码与(1+u)-循环码结构的讨论,具体给出了它们的秩和极小生成元集。这对确定码的距离分布以及译码均有重要的意义。

有关本原自动机的研究

讨论了本原自动机的自同态,证明了如果广义正规自动机Α的所有本原自动机都是Sl(或G)-自动机,那么Α也是Sl(或G)-自动机;证明了强连通本原自动机的并是G-自动机;利用极小生成元集将标准自动机的定义推广到有限自动机,给出了广义标准自动机的定义及其成立的一个充分条件。

环F_2+uF_2+u^2F_2上的(1+u)常循环码

基于(xn-1)在F2[x]上的分解,研究了环R=F2+uF2+u2 F2上任意长度的(1+u)常循环码的秩和极小生成元集,定义了环R到F42的一个新的Gray映射,确定了环R上任意长度的(1+u)常循环码的Gray象的结构及Gray象的生成多项式,得到了一些最优的二元线性循环码.

Z_4×(F_2+uF_2)上的一类循环码

定义了Z_4×(F_2+uF_2)上的循环码,明确了一类循环码的生成元结构,给出了该类循环码的极小生成元集.利用Gray映射,构造了一些二元非线性码.

有限域上的双循环码

设F_q是含有q=p^m个元素的有限域,其中p是某个素数,m是正整数.研究了F_q上双循环码及其对偶码的代数结构,以及利用双循环码构造有限域F_q上性能良好的线性码的方法.

广义标准自动机及其商自动机

文中给出了广义正规自动机上L关系的定义。由此出发刻画了广义标准自动机,即L是等价关系的广义正规自动机。证明了L是广义标准自动机上的同余关系,并给出了商自动机A/L是循环自动机的刻画。

有限链环上的双λ-常循环码

设R是一个指数为2且极大理想为γ()的有限链环.设λ是R的一个单位.R上码长为r(,s)的一个双λ-常循环码是划分为两部分的一个集合,并且对这两部分进行λ-常循环移位保持码不变.这些码可以看作是R[x]/(xr-λ)×R[x]/(xs-λ)的R[x]-子模.本文确定了R[x]/(xr-λ)×R[x]/(xs-λ)的R[x]-子模这类码的生成多项式,给出了R[x]/(xr-λ)×R[x]/(xs-λ)的R[x]-子模这类码的极小生成元集.举例表明了通过这类码可以得到有限域上一些比较好的线性码.

半群D_(k)T_(n)的秩和平方幂等元秩

设自然数n≥3,T_(n)和Sn分别是有限集Xn={1,2,…,n}上的全变换半群和置换群.对任意正整数k满足1≤k≤n,记D_(k)=,其中对任意的x∈{1,2,…,k-1}有xgk=x+1,kgf=1且对任意的x∈{k+1,…,n}有xgk=x;对任意的x∈{1,2,…,k}有xδk=k+1-x且对任意的x∈{k+1,…,n}有xδk=x.易见D_(k)是Sn的子群,称D_(k)是Xn上的k-局部二面体群,再记D_(k)T_(n)=D_(k)∪(T_(n)Sn).易证D_(k)T_(n)是全变换半群T_(n)的子半群.通过分析半群D_(k)T_(n)的格林关系和平方幂等元,获得了半群D_(k)T_(n)的极小生成集和平方幂等元极小生成集,进一步确定了半群D_(k)T_(n)的秩和平方幂等元秩.

有限链环上的广义拟循环码

有限链环上一般指标广义拟循环码的显式生成元对于确定广义拟循环码的生成矩阵、对偶码、计数、最小距离、对偶包含的条件、重量分布具有重要意义.设有限链环R=F_(q)+uF_(q)+…+u^(s-1)F_(q),其中q是某个素数的幂次,s是正整数,s≥2和u^(s)=0.环R上分块码长为(r_(1),r_(2),…,r_(1)),指标为l的广义拟循环码是R[x]/<x^(r_(1))-1>×R[x]/<x^(r_(2))-1>×…×R[x]/<x^(r_(l))-1>的R[x]-子模.文章确定了有限链环R上一般指标广义拟循环码的生成元、极小生成元集以及广义拟循环码与对偶码之间生成元的关系.