基于描述函数法确定极限环个数问题的研究

将描述函数法用于确定微分方程极限环个数的问题是一个有意义的理论探索.本文针对描述函数法适用于该问题的合理性及其局限性作了较为深入的分析,并给出了典型的例证和反例加以说明.结果证明:使用描述函数法能够简化该问题的求解,但也暴露出其存在着近似表示,频率归1以及更一般二阶系统不适用等方面的局限和不足.

一类扰动系统极限环个数的最小上界

讨论了一类扰动系统的弱化 Hilbert第 1 6问题 ,在其一阶 Melnicov函数不恒等于零的情况下 ,得到了该系统的极限环个数最小上界的完整结论 .作为应用 ,还给出了两个具体的例子 .

Bogdanov-Takens系统在分段低次多项式扰动下极限环个数的上确界

将平面分为左右2个区域,研究Bogdanov-Takens系统在分段n(n=1、2)次多项式扰动下极限环个数的上确界B_2(n).利用广义幂级数和二阶微分算子估计一阶Melnikov函数M1(h)的孤立零点个数的上确界,得到当M_1(h)不恒为0时,在一次分段多项式扰动下有2≤B_2(1)≤3,在连续的一次分段多项式扰动下极限环个数的上确界为B_(2c)(1)=1;在二次分段多项式扰动下有5≤B_2(2)≤7,在连续的二次分段多项式扰动下极限环个数的上确界满足3≤B_(2c)(2)≤5.

一类分段近Hamilton系统极限环个数的估计

将平面等分成3个扇形区域,研究一类分段线性Hamilton系统在n次多项式扰动下极限环的个数.通过计算一阶Melnikov函数M1(h),得到当M1(h)不恒为0时,该分段线性Hamilton系统在n次多项式扰动下至少可以产生2 n+2[(n+1)/2]+2个极限环.

零点状态函数与极限环

论述了通过研究特定二次系统的状态函数的零点个数来确定二次系统极限环的个数的方法,与传统的应用庞加莱-本迪克松环域定理的方法相比具有首创新和实用性.