不可超越的无穷:关于直谓性和后继公理的关系

本文首先将新弗雷格主义的发展划分为三个阶段:(1)弗雷格算术(由二阶逻辑和休谟原则构成的理论)的一致性和对于二阶皮亚诺算术公理的可推出性的证明,(2)对休谟原则和二阶逻辑的哲学辩护与反驳,(3)对休谟原则和二阶逻辑进行限制,并证明其一致性和可推出性。然后着重介绍:(1)直谓二阶逻辑和公理V的一致性,(2)直谓二阶逻辑和休谟原则不能推出皮亚诺算术的后继公理。这说明一致性和可推出性在弗雷格系统的直谓片段中不可兼得。最后在直观上做出简单的分析。

内涵的《算术基本规律》

罗素在《算术基本规律》中所发现的悖论是由二阶逻辑的概括公理和公理V造成的,其根源在于,弗雷格持有两个相互冲突的哲学信条:"数的给出包含着概念的断定"和"数是独立自主的对象"。为了在"对象"和"概念"之间建立一一对应,可以把谓词的涵义看作"概念",把专名的涵义视为"对象",谓词的涵义的外延变成专名的涵义,由此可在谓词的涵义和专名的涵义之间建立一一对应。据此思路,设计了一个模态的形式系统IG(Intensional Grundgesetze),由内涵公理V和内涵概括公理构成。最后证明:IG是一致的,并且IG可以解释Robinson算术。

集合论发展的新路径研究

集合论的概括(抽象)原则说的是,对于任意的性质或条件恰好存在一个由满足这个性质或条件的对象组成的一个集合,康托尔的朴素集合论正是基于这样一条原则建立起来的。对象和集合之间的是"属于"关系,对象和性质之间的是"满足"关系,因而概括(抽象)原则可以用类似于塔斯基T模式的方式表示出来,x缀φ圮准(x),即集合φ恰好满足性质准的那些对象构成。然而,正是由于这个不加限制的概括原则,20世纪初波特兰·罗素在康托尔的朴素集合论中发现了一个悖论,即我们熟知的罗素悖论。罗素悖论的出现使得人们开始考虑对集合形成原则加以限制,增加新的公理限制集合论的朴素概括原则,这就是公理集合论的发展路径。公理化集合论是一种指向修改概括(抽象)原则拯救朴素集合论的集合论,因而其约束概括原则限制生成集合的任意性,对于维持集合论系统的协调性具有极端重要的意义。然而,随着弗协调思想和技术的发展,人们对待矛盾或不协调的态度和处理方法也在发生相应的改变,包容或容纳矛盾及不协调可以是集合论发展的一种路径选择。朴素集合论是一种不协调的理论,弗协调逻辑是唯一一类能够容纳不协调理论的逻辑类型;因此使用弗协调逻辑构造新的弗协调集合论系统是集合论发展的新路径。

弗协调集合论研究的新进展

公理化集合论建立新的公理限集合形成原则,成功地拯救了朴素集合论。这一方法极大地推动了集合论的发展,并且为经典数学奠定了基础。但是,公理化方法人为地限制集合形成原则,排除了集合论系统中有意义的罗素集和全集。20世纪60年代以来,随着弗协调思想和技术的发展,弗协调逻辑应用于集合论研究的趋势得以凸显,开拓了弗协调集合论研究的新方向。集合论研究从公理化到弗协调的转向,把朴素集合论重新推向了一个新的高度。