例谈麦克劳林展开式在高考中的应用

麦克劳林展开式是高中导数命题的常见高等背景,其常见模式是以目标函数麦克劳林展开式的一阶、二阶和高阶放缩,或多个函数的麦克劳林展开式的线性运算后的放缩为背景.

利用函数的傅里叶展开式求级数的和

利用函数的傅里叶展开式可求得级数∑ n=1 ∞ 1/n2＋λ2及∑ n=1 ∞ （-1）n /n2＋λ2的和．而通过引入复数并利用欧拉公式可求得级数∑ n=1 ∞ 1/n2-λ2及∑ n=1 ∞ （-1）n /n2-λ2的和。

幂级数展开式的若干应用

微积分是理工科大学生非常重要的一门基础课程,其思想丰富,学时多,周期长,对于大学生数学观、思维观及方法论的形成至关重要.本文给出了幂级数展开式的若干应用,以激发学生的学习兴趣,培养学生的科学思维方法和创新能力.

函数的幂级数展开式的应用

幂级数利用幂函数的和即多项式来表示函数,是一类形式简单而应用广泛的函数项级数。基本初等函数在一定范围内都可以展开成幂级数。幂级数的运算包含最简单的加减乘除四则运算,其积分和求导也十分方便,因此幂级数已经成为研究函数性质的有力工具,在理论证明和工程计算中有广泛应用。本文重点介绍了函数的幂级数展开式在近似计算、微分方程求解、欧拉公式证明、累积分布函数计算、电场计算中的应用,以加深对这个知识点的理解。

汉密顿—弗叶插值多项式逼近李普希慈函数类的完全展开式

以第一类切比雪夫多项式T_(?)(x)=cosnθ,cosθ=x的根x_h=cos((2K-1)π/2n),K=1,2,…,n,n=1,2,…。

怎样计算secx与tgx的幂级数展开式

我们知道,六个三角函数sinx,cosx,tgx,ctgx,secx以及cscx的幂级数展开式中,只有sinx和cosx的容易记住,其余的四个三角函数的幂级数展开式中的系数都与伯努利数B_a或欧拉数E_n有关,一时看不出明显的规律,[译者注:六个三角函数的幂级数展开式可查阅《数学手册》第226,227页,人民教育出版社1979年5月第一版],本文将用一种很简洁的方法来求出比secx与tgx的幂级数展开式.这种方法仅需加法运算,因而对笔算和电算都适合.

2020年高考全国I卷理科第21题与泰勒展开式的联系

函数y=e^(x)在x=0处的泰勒展开式(即麦克劳林公式)为e^(x)=1+x+x^(2)/2!+…+x^(n)/n!+R_(n)(x),其中R_(n)(x)为泰勒展示的余项.受此启发,我们可以得到一系列高中生可以证明的不等式.

戴煦对欧拉数的研究

戴煦(1805—1860)的《外切密率》出版于1852年。在这部著作中,他继承了明安图(约1692—1763)、董祐诚(1791—1823)、项名达(1789—1850)等人在三角函数的无穷级数展开式上的工作,并有所创新。当时数学家们探讨了正弦、余弦、正矢、余矢的幂级数,而对正切、余切、正割、余割的幂级数尚未涉及。项名达曾注意过此问题,但未能解决,"以弧分不通切割为憾"。戴煦经多年钻研,终于得到了这一问题的答案,著《外切密率》,"推衍数术、以呈先生(项名达),而先生以未有术解为嫌",其后又作了修改补充。1851年,戴煦结识李善兰,李氏非常欣赏《外切密率》,遂互相研讨、切磋琢磨,经再三敦促,戴煦终于将此书定稿出版。

欧拉公式的证明及应用

运用麦克劳林级数对欧拉公式进行证明,并讨论了欧拉公式在交流电路、简谐振动微分方程和拉普拉斯变换中的应用。

无穷求和与渐近展开

利用欧拉麦克劳林求和公式,得到了圆链上马德隆常数的渐近展开和解析表达式.

浅谈欧拉公式的成因

由三个幂级数展开式,得到数学领域中最优美的一个结果——欧拉公式。

欧拉应用分析于数论研究的早期工作

如所知,把分析方法应用于数论的研究在欧拉之前似乎并无先例.本文在[1]的基础上,扼要而又较为系统地综述了欧拉应用分析于数论研究的早期工作.其中有许多激动人心的数论公式与定理,都是欧拉在数论文库中留给我们的宝贵遗产.明年适逢Leonhard Euler诞生300周年纪念,作者谨以此文献给读者.

二维弱奇异积分高精度数值求积公式的构造

在欧拉—麦克劳林展开式和一维弱奇异积分的求积公式的基础上,推导出了二维弱奇异积分的求积公式及其误差的渐进展开式。此类求积公式只需赋值,不需计算二重积分,故计算量小。利用这类积分公式进行计算可以得到十分精确的结果,使得收敛阶大为提高,为讨论更为复杂地多维弱奇异积分方程奠定了基础。

正弦函数的Euler乘积展开式的一个初等证明

利用初等工具,我们对于正弦函数的Euler(欧拉)乘积展开式提供了一个新的证明.

泰勒级数在近似计算中的应用

以泰勒级数定义为理论基础 。

Airy函数——二阶微分方程f″-zf=0的特解

本文讨论了一个用含变量的积分表示的函数 ,即 Airy函数 .证明了 Airy函数是整函数 ,并且是二阶微分方程 f″-zf=0的一个特解 ,进一步给出了 Airy函数的麦克劳林展开式 .

两道考研试题的探讨

主要讨论了函数f(x)=ln(1+x+x2+…+xm)(-1≤x≤1,m为正整数)关于x的幂级数展开式在点x=1处的敛散性.

Euler数与Bernoulli数的一些恒等式

本文的主要目的是利用初等方法给出Ｅｕｌｅｒ数与Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数的一些有关恒等式．

第11届美国数学邀请赛(AIME)试题

1.在4000至7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数? 2.在一次竞选中,一个候选人到国家各处去游说,我们假设整个国家在一个平面上,第一天他向东,第二天向北,第三天向西,第四天向南,第五天向东,…,等等。如果他第n天行走n^2/2公里。

平行板受限下伊辛普适类临界卡西米尔力的一种计算方法

研究统计力学中伊辛普适类的临界卡西米尔力。针对临界点上平行板几何约束下的伊辛普适类,基于欧拉-麦克劳林求和法发展了一套计算临界卡西米尔力的有效方法。结果表明,在平行板几何约束下,伊辛普适类临界卡西米尔力表现为以标度指数为-3的方式随板间距离衰减的长程吸引力。