欧拉线——悄然兴起的高考热点

瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.在各地新高考模拟试卷中,涉及欧拉线的试题频频“闪亮登场”,它们构思精巧、韵味十足、魅力四射,是考查考生的学科素养和关键能力的极好素材.下面精选一些例题加以剖析,旨在探索题型规律,揭示解题方法(通常试题会给出欧拉线的定义,本文不再赘述).

欧拉线与两边所围成三角形的性质

揭示原△ABC和其欧拉线与选定的两边所围成的新△AB_(1)C_(1)的一种对称关系.既有文献已经证明△AB_(1)C_(1)外心与△ABC欧拉线的逆斯坦纳点连线过两三角形的公共顶点A.通过探究证明△ABC外心与△AB_(1)C_(1)欧拉线的逆斯坦纳点连线有同样的性质.亦给出△AB_(1)C_(1)的欧拉线平行于边BC的新证明.列出可能的三个新△AB_(1)C_(1)、△BC_(1)A_(1)、△CA_(1)B_(1)与△ABC四者的一些关联性质.

球面上有限点组的欧拉线

在平面几何中,有这样一个定理:"三角形ABC的外心O、重心G、垂心H三心共线,且→OG=1/3→OH" 线段OGH名日欧拉线. 本文将三角形的欧拉线推广至球面上n (n≥3)点组的欧拉线,其主要思路是将n个点中的n-2个点以其重心代之,转化为三个点情形.

欧拉线的发现与证明

读初中的时候，偶然在一本课外书上看到了欧拉线：如图1，任意三角形的外心（二）、重心G、垂心日三点共线（此线被称为欧拉线），并且2OG=GH．当时觉得很有意思，希望记下来，

三角形的欧拉线与边的位置关系

本文探讨了三角形欧拉线与三边的位置关系，揭示了欧拉线平行于三角形一边的条件．

从直角三角形中的欧拉线谈起

读初中的时候，在一本课外书上偶然看到了欧拉线：如图1，任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线（此线被称为欧拉线），并且2OG=GH．当时觉得很有意思，希望记下来，反复好几次，都没记住，经常把三个点的位置记错，甚至有时候还将内心也扯进来了．无意中想到，既然是对任意三角形成立，那么对直角三角形也应该成立啊，于是便得到图2，

欧拉线定理的证明及其应用

1问题的提出问题如图1,△ABC中,O、G、H分别为外心、图1重心、垂心.试探究：O、G、H是否共线？并求OG∶GH的值.图1分析由外心和重心联想3边的中点,由垂心和外心联想高和垂直.根据需要可以适当地添加辅助线,例如设D、F分别为BC、AB的中点,连接OD、OF,则有OD⊥BC,OF⊥AB.连接AH、CH并延长，分别交BC、AB于E、M，则有AE⊥BC，所以AH//OD，CH//OF．

璀璨欧拉线 精彩高考题(高一、高二、高三)

题△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实数m=.(05年全国高考卷Ⅰ)解如图1所示,O为△ABC外心,H为△ABC垂心.过O点作OMBC,则M为BC的中点.过A、B、C三点分别作对边的平行线,它们的交点设为A'、B'、C'。

欧拉线定理的推广

采用质点几何学的方法证明了欧拉线定理 ,并将其推广到高维以及位似形的情况 ,并讨论了四面体的外心。

欧拉线素场在回归中的应用

由随机场的存在性和唯一性的理论 ,对数据进行了统计处理 ,采用欧拉线素场的思想建立概率势场模型 。

证明以正交4球半径为4元数欧拉线的算法——四维体积勾股定理的应用(公式四)

正交4球心组成的垂心四面体,在欧氏3D坐标系中,仅用四球半径,按勾股4态的4个共球半径、球心坐标、球心距垂心间距均有各自的同构公式。

关于欧拉线的证法种种

三角形的外心、重心、垂心共线,此线称为欧拉线。现收集欧拉线的各种证法供参考。设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心。

坐标法证欧拉线定理——兼谈欧拉线性质的应用

“三角形的垂心、重心与外心在一直线上”。这便是著名的欧拉线(Euler Line)定理,亦称三心共线定理。该定理证法较多,现仅将解析法的10种方法归纳介绍如下:

欧拉线的逆斯坦纳点性质初探

在文[1]结尾处,笔者曾给出一个关于欧拉线的逆斯坦纳点的命题,但没有给出具体证明.本文笔者给出该命题的几何证明,并进一步探讨欧拉线的逆斯坦纳点的性质.先对某些字母的几何意义进行约定.如图1,在△ABC中,O、H、N、K分别为外心、垂心、九点圆圆心、Kosnita点。

正交四面体中的欧拉线定理

研究了正交四面体中的垂心、重心和外心的位置关系 ,证明了正交四面中的欧拉线定理。

欧拉线向圆内接四边形推广

从三角形中的欧接线出发，利用位似变换的性质，得出了一些重要的结论，最后得出欧拉线在圆内接四边形中的推广。

欧拉线的再推广

众所周知，三角形的外心O，重心G，垂心H共线（欧拉线），G在线段OH上且OG：GH=1：2．

欧拉线定理在解三角形中的应用

在解三角形时,运用既有大小又有方向的平面向量是一种巧妙的方法.而三角形的外心,内心,垂心和重心又是重要的位置特征,欧拉线定理是将三角形的外心,垂心和重心的位置关系与它们之间的距离建立连接的纽带,是平面向量中又一体现“数形结合”的重要定理.本文将对欧拉线定理进行向量法证明并运用到具体问题中.