有限μM,D-正交指数函数系的一个充分条件

设μM,D是由仿射迭代函数系{φd(x)=M^-1-(x+d)}d∈D唯一确定的自仿测度,它的谱与非谱性质与Hilbert空间L^2(μM,D)中正交指数函数系的有限性和无限性有着直接的关系.本文将利用矩阵的初等变换给出μM,D正交指数函数系有限性的一个充分条件.由于这个条件只与矩阵M的行列式有关,因此,它在μM,D的非谱性的判断方面便于直接验证.

一类直和数字集下正交指数函数系的基数

设M∈M2(■)为整数扩张矩阵,即M的所有特征值的模都大于1,D_1为有限数字集且D_1={(0 0),(-1 0),(11)},P=[0 p_1 p_2 0],其中p_1=±3,p_2=±1,当det(M)≠3■时,由整数扩张矩阵M和数字集D=D_1PD_1所确定的L^2(μ_(M,D))空间上正交指数函数系的基数为9,即μ_(M,D)为非谱测度.

非谱自仿测度下正交指数函数系的基数

设μ_(M,D)是由扩张矩阵M∈M_n(Z)和有限数字集D?Z^n通过仿射迭代函数系统{φ_d(x)=M^(-1)(x+d)}_(d∈D)唯一确定的自仿测度,它的非谱性与相应的平方可积函数构成的Hilbert空间L^2(μ_(M,D))中正交指数函数系的有限性或无限性密切相关.通过对数字集D的符号函数m_D(x)的零点集合Z(m_D)的特征分析以及其中非零中间点(即坐标为0或1/2的点)和非中间点的性质应用,得到了非谱自仿测度下正交指数函数系基数的一个更为精确的估计,改进推广了Dutkay,Jorgensen等人的相关结果.

具有2个数字集的自仿测度μM,D正交指数函数的个数

对于由M=pIN(|p|>1,p∈Z),D={0,l1e1+l2e2+…+lNeN}ZN(l21+22+…+l2N≠0,lj∈Z,j=1,2,…,N)决定的自仿测度μM,D,支撑在吸引子T(M,D)上.证明当p为奇数时,L2(μM,D)空间中的正交指数函数系最多有2个元素,而且2是最好的估计;当p为偶数时,L2(μM,D)空间中存在含有无限个元素的正交指数函数系.

空间中特定自仿测度的谱性质分析

在三维空间R^3中,当M=1/2[p_1+p_2,p_1-p_3,p_2-p_3;p_1-p_2,p_1+p_3,-p_2+p_3;-p_1+p_2,-p_1+p_3,p_2+p_3],D={0,e_1,e_2,e_3}时,其中pj∈Z\{0,±1}(j=1,2,3),e1,e2,e3是R3中的单位向量,对迭代函数系{φd(x)}d∈D产生的自仿测度μM,D的谱性质进行分析.得到:(1)当pj∈2Z\{0,2}(j=1,2,3)或p_1=p_2=p_3=2时,μM,D是谱测度;(2)当p_1,p_2,p_3至少有一个数是偶数时,空间L^2(μM,D)中存在无限正交系E(Λ)且Λ■Z^3;(3)当p_j∈2Z+1\{±1}(j=1,2,3)时,μM,D不是谱测度,且空间L^2(μM,D)中正交指数函数系至多包含4个元素,且数字"4"是最好的.

一类特定数字集下自仿测度的非谱性

主要讨论与扩张矩阵M=diag[p_1,p_2,p_3](p_j∈Z\{0,±1},j=1,2,3)和数字集D={0,e_1,e_2,e_3,e_1+e_2,e_1+e_3,e_2+e_3,e_1+e_2+e_3}所对应的自仿测度μ_(M,D)的谱性,这里e_1,e_2,e_3是空间R^3中的标准正交基.通过分析Fourier变换μ_(M,D)的零点Z(μ_(M,D))的特征,证明当p_j∈2Z+1\{0,±1},j=1,2,3,μ_(M,D)是非谱测度,空间L^2(μ_(M,D))中正交指数函数系至多包含"8"个,且数字"8"是最好的,推广了文献[14]相关的结果.

两元素数字集的平面自仿测度的非谱性条件

在自仿测度谱与非谱问题的研究中,由两元素数字集确定的迭代函数系是最简单且最重要的情形.一维情况对应Bernoulli卷积,其谱与非谱问题是已知的,而高维尤其是二维情形还未完全确定.有猜想表明:平面中遗留的情形均对应于非谱自仿测度.针对这种情况,本文首先获得了判定两元素数字集所对应平面自仿测度非谱性的一类条件,并在一种条件下得到正交指数函数系中元素个数的最佳上界.其次给出了所得结果的应用,并举例说明了该类条件的有效性.