张量CP分解、半正定张量和范德蒙张量

张量,又称超矩阵,是矩阵的高阶推广。首先介绍张量基本概念(包括张量的特征值和张量的行列式等)和张量的基本运算(主要是张量乘积),重点介绍张量秩-1分解、半正定张量、Hankel张量和Vandermonde张量的最新研究进展。

关于正定张量定义和二阶张量特征向量

该文讨论了国内外数办学著作中出现的实质上有很大差异的两个正定张量定义。其一遵循数学的传统，将对称作为正定张量的先决条件，这样定义的正定张量与正定矩阵有很好的对应性；其二则不管该张量是否对称，直接由张量对任一向量的作用来定义是否正定。说明了这两个定义所定义的正定张量性质的不同，以及由此引起的张量极分解等定理叙述的不同。该文还阐明了对二阶对称张量成立的关于特征方程的重根与重向的一些结论对非对称二阶张量不一定成立。

半正定张量

随着大数据时代的来临,承载高阶高维信息的张量结构备受关注,从而引发了关于张量的理论、计算和应用的广泛研究.与矩阵的情形类似,作为张量理论的一个重要组成部分的半正定张量理论,也在实际问题中凸显出不可或缺的作用.本文旨在对张量的半正定性理论进行简单的梳理与总结,并希望对张量理论的未来发展提供可能的研究方向.

一类结构张量方程解集的非空紧性

针对几类带有强H-系数张量的结构张量方程问题,证明了齐次张量方程(即常数向量为零向量)只有零解。在此基础上,进一步利用拓扑度理论,研究了当系数张量为半正定和强H-张量时,张量方程解的存在性和解集的紧性。

一类长方形张量变分不等式解集的非空紧性

针对一类长方形张量变分不等式问题,利用例外簇的概念和性质,当长方形张量在其可行域上为半正定时,得到长方形张量变分不等式解集的非空紧性。

高阶张量Pareto-特征值的估计

张量特征值互补问题有许多实际应用,它与一类高次齐次多项式优化关系密切,而后者是NP-难问题。给出了高阶张量Pareto-特征值的若干估计性质,并证明了对称的强-M-张量及单调张量的Pareto-特征值均为正。

张量与矩阵乘积的递推算法及相关问题

在张量研究中乘法运算起着重要的作用,而由于张量的复杂性,由定义来计算张量的乘法十分不便.给出一种张量与矩阵相乘的递推算法,并特别将此算法应用于讨论四阶张量的相关运算,从而得到二元四次型的一种合同标准形,并给出二维四阶张量正定性的一个判定定理.

多项式变分不等式解集的非空紧性和估计

针对一类多项式变分不等式问题,首先,利用例外族概念,在多项式函数首项系数张量为正定时,得到解集的非空紧性;然后,在多项式函数是高阶强伪单调的条件下,证明了其解唯一,并给出一个解的估计刻画。