具有确定正对角元个数的本原矩阵的指数集

§1.引言一个n阶非负矩阵A称为是本原的,如果存在某个自然数k,使Ah>0。这样的自然数中的最小者称为A的本原指数,记作γ（A）。设A是n阶非负矩阵,定义A的伴随有向图D（A）=（V,E）为以V={1,2,…,n}为顶点集,以E={（i,j）|aij≠0}为弧集合的一个有向图。显然,D（A）完全刻划了A的零位模式（即A的零元素位置分布）。

恰有d个正对角元的布尔矩阵的幂敛指数的分布

设Bn为n阶布尔矩阵的集合，Dn(d)=｛A∈Bn|A中恰有d个正对角元，本文完全确定了矩阵类Dn（d）的幂敛指数集kn（d）．

极矩阵中正元个数遍历性质的一个注记

设 是恰含ｄ≥１个正对角元且幂敛指数达到上界 的ｎ阶布尔矩阵的集合，Ｑ（ｎ，ｄ）和Ｐ（ｎ，ｄ）分别是Ｄ＇ｎ，ｄ中矩阵正元个数的最小值和最大值．本文给出了Ｑ（ｎ，ｄ），Ｐ（ｎ，ｄ）的值，并证明了，对介于Ｑ（ｎ，ｄ）和Ｐ（ｎ，ｄ）之间的任意整数ｋ，都存在Ｄ中的某个矩阵，其正元个数等于ｋ．

关于本原矩阵的本原指数集的分布

本文证明了含有 d 个正对角元,1≤d<n 的 n 阶本原矩阵的本原指数集为{2,3,…,2n—d—1).回答了文献[4]所提出的两个问题.