正方形边上三等分点的一种新折法及其拓展探究

1前言 在折纸数理学中，芳贺的三个定理展示了三种在正方形的边上折三等分点的方法．笔者通过观察发现，这三种折法的共同之处在于都利用了正方形上边的中点．于是笔者思考，能否利用正方形的中心来进行折叠，得到正方形边上的三等分点呢？经过探究，笔者发现了一种新的折法，可以用来折出正方形边上的三等分点．此外，笔者还将这种折法运用于一般长方形，并将这种折法稍加变形后再运用于正方形，得出了一些有意义的结论．特别地，笔者给出了在正方形边上折n等分点的一种方法．

“由正方形边长变化所想到的……”教学设计

教学实录： 一、平移沟通“线、画、体” （师演示“点动成线、线动成面、面动成体”，略）

一道赛题中正方形边卡术法初探

例如图1，点P是正方形ABCD对角线AC上一点，连接BP，

磁电弹性材料中含有带四条裂纹的正方形孔的反平面断裂问题

针对反平面剪切力作用下,磁电弹性材料中含有带四条裂纹的正方形孔口的断裂问题进行了深入地探索。基于线弹性断裂理论和Riemann-Schwarz解析延拓定理,利用复变函数方法和留数定理,通过构造合适的数值保角映射函数,将解析函数边值问题转化为柯西积分方程组进行解答,获得了磁电非渗透边界条件下裂纹尖端断裂力学参数的显式表达式。通过与已有结果的对比,验证了方法的有效性。利用数值算例描述了孔洞尺寸、四条裂纹长度和机–电–磁载荷等因素对裂纹扩展参数的影响规律。结果表明:水平右裂纹对孔口裂纹扩展影响更显著;垂直裂纹影响水平裂纹的扩展趋势;在磁电非渗透边界条件下,随着机械载荷的增大,裂纹尖端的应力强度因子变大,而电载荷和磁载荷对裂纹的扩展与机械载荷的大小和方向密切相关。该分析方法为求解复杂多连通域的智能复合材料问题提供了一条有效途径,研究成果为含裂纹的复合材料或结构的优化设计提供了科学依据。

米字形填充正方形蜂窝异面平台应力

目的研究冲击速度和结构参数对米字形填充正方形蜂窝异面平台应力的影响规律。方法利用ANSYS/LS-DYNA建立该蜂窝可靠的基于胞元阵列的异面冲击分析有限元模型;基于简化的超折叠单元理论推导该蜂窝的准静态平台应力理论公式,理论值与仿真值相吻合验证理论公式的正确性。对不同壁厚边长比的蜂窝,在不同冲击速度下进行异面冲击仿真分析,利用LS-PrePost软件处理得到相应的接触力-位移曲线,进一步处理得到变形模式和平台应力,并以图表的形式加以展示与分析。结果不同冲击速度下结构参数固定的蜂窝表现出LS、MS和HS等3种不同的异面冲击变形模式,从LS模式转变到MS模式再到HS模式的临界速度分别约为20 m/s和150 m/s;壁厚边长比对变形模式的影响可忽略。结论该蜂窝动态平台应力随冲击速度(或壁厚边长比)的增加而增大,且增长速率不断提高。当其他参数固定时,LS模式和MS模式下该蜂窝的动态平台应力与冲击速度呈二次函数关系,HS模式下动态平台应力与冲击速度的平方呈线性关系;动态平台应力与壁厚边长比呈幂函数关系。基于仿真计算结果,得到了该蜂窝动态平台应力的经验表达式。

正方形布置四圆柱结构流致振动响应特性研究

通过风洞实验研究了正方形布置四圆柱的流致振动特性,实验雷诺数Re=3200~28900,圆柱间距比S/D=1.5~4.0(S为两圆柱圆心间距,D为圆柱直径),质量比m^(*)≈345.0.结果表明,当S/D≤2.0时,上游圆柱1和2呈现涡激振动和类弛振耦合响应,下游圆柱3和4呈现涡激共振和尾流弛振耦合响应;当S/D=2.5~3.0,上游圆柱1和2除了在约化速度超过一定值时存在弱振动外,基本接近单圆柱涡激振动响应,下游圆柱3和4表现为分离的涡激共振和尾流弛振响应;当S/D=4.0时,上游圆柱1和2振动响应几乎和单圆柱一样,而圆柱3和4仍呈现分离的涡激共振和尾流弛振响应.当圆柱呈现涡激振动(上游圆柱)或涡激共振(下游圆柱)时,涡脱频率f_(s)锁定于固有频率f_(n)的1倍谐频,而当圆柱呈现剧烈的类弛振响应(上游圆柱)或尾流弛振响应(下游圆柱)时,f_(s)则会出现明显的多倍谐频;圆柱模型振动频率f_(o)主频始终锁定于fn的1倍谐频.通过对比正方形四圆柱和双圆柱流致振动特性,发现双圆柱动力学响应规律在一定程度上仍适用于正方形布置四圆柱.

利用“结构性情境”促进学生提出问题——《长方形和正方形》单元复习课教学实践与评析

《长方形和正方形》单元复习课,依据“问题提出”的教学理念,设计“用小棒拼图形、求周长”的结构性情境,引导学生提出问题,进而梳理、解决所提问题,从而使学生清楚地认识到边是理解图形及其周长的关键,能抓住部分与整体的关系理解几何概念的本质。具体地,分三个环节,变化情境的要素,提出不同的任务要求,实现全面梳理单元知识、逆向思考边长与周长的关系、拓展应用图形及其周长的知识等教学目标。

贯通问题情境,促进趣学育人——《长方形和正方形的周长计算》教学与思考

《长方形和正方形的周长计算》教学,利用“数学+信息技术”,充分发挥多媒体图文并茂、声像兼备且互动性强的特点,以故事《龟兔再跑》为背景,创设贯通全课、直观有趣的问题情境,用系列问题引导学生质疑思考,多角度地观察探究,增进知识理解,化解学习难点,获得学习的乐趣、理趣,达到“趣学育人”的成效。

利用真实情境,促进数学与生活双向勾连——《长方形、正方形的周长》教学与思考

教学《长方形、正方形的周长》一课,引领学生在课余的真实生活情境中探索发现关于周长的相关问题,完成数学小报告,并在课堂上通过“简单长方形周长计算”“从算式构想图形”“联想生活中图形”“辨析说理”等多种活动,展开问题探究、想象联想、合作交流,构筑起从生活实践到数学本质揭示,再回归生活应用的完整认知闭环。

“图形的认识与测量”结构化教学初探——以《长方形和正方形》单元为例

教师应把每节课的知识置于数学知识的整体体系中,从整体的视角对教学内容进行结构化整合。“图形的认识与测量”主题下的结构化教学,应在学情分析的基础上,梳理单元知识内容,建构单元教学框架,并以大任务统领的方式整体设计学习活动。

问题驱动探索新知,自然生长落实素养——以“正方形(第1课时)”教学为例

教学活动的设计和实施注重“做中学”,引导学生经历发现问题、解决问题、建构知识、运用知识的过程,体会学科思想方法.在“正方形(第1课时)”学习中,通过一系列的驱动性问题,经历“联—识—画—折—悟”五个教学环节,让学生积极探索获取新知,并在丰富的课堂活动中让学习真实发生,思维自然生长,有助于核心素养的落实.

正方形中的“十字架”模型探究

正方形是完美的四边形,“十字架”模型是正方形中重要的模型之一。文章结合几道题,从四个方面探讨“十字架”模型在解题中的应用,以培养学生识别模型、构造模型、应用模型的能力。

问题链驱动:让思维向更深处漫溯——“正方形数的学问”的教学实践与思考

以问题解决为核心的数学教学需要提炼核心问题,形成具有逻辑性和整体性的问题链,以推进学生对学习活动的模块化探究。在教学“正方形数的学问”时,教师借助直观的点图,通过递进式问题链驱动学生主动探究,使学生的数学思维不断向纵深推进,从而帮助学生积累建构概念、发现规律和解决问题的思维经验。

小学数学“长方形和正方形”教学策略探究

在小学数学课程体系中,“长方形和正方形”是“图形与几何”领域的重要内容,优化相关的教学方式,不仅能够丰富学生对图形的感性认识,还能使学生从数学的角度出发,主动观察事物、思考问题,推动数学素养与自学能力的协同发展.文章主要分析小学数学“长方形和正方形”的教学价值,从课程特点和学生的认知需求出发,结合具体的课堂教学实例,研究“长方形和正方形”的有效教学策略,以期提高学生对课程知识技能的掌握程度,实现教学创新的目标.

基于“一题一课”的新授课设计与实践——以“正方形的性质”为例

在正方形性质及应用的新授课中,知识点呈现多而杂的特点,笔者以一题一课视角明确教学目标,优化课堂结构并运用多元化的教学方式,有助于学生全面理解和掌握正方形性质,达到良好的教学效果.

对于正方形中构造辅助线问题的方法探讨

平面几何是初中数学的一个重要的考点,常在正方形、三角形、圆形等特殊几何图形的背景下出题.利用这些图形本身的几何性质,结合平面几何的数学思想,就可以找到此类问题的解题策略.

基于UbD理念的小学数学单元整体教学设计探析——以苏教版三年级“长方形和正方形”单元为例

UbD理念是一种基于“理解”的教学设计理念,它强调课程和教学设计的结构性和连贯性,更适合单元整体课程设计,有助于深入发展大概念和探究基本问题,这与课标提倡的单元整体教学不谋而合.基于此,文章以苏教版三年级“长方形和正方形”为例,详细介绍了在UbD理念指导下的小学数学单元整体教学设计案例,即从课程标准和教材内容两方面进行分析和重构,提出了具体的教学计划,以期帮助一线教师利用UbD理念进行单元整体教学设计,帮助学生理解和掌握数学内容.同时,文章指出了教师在教学过程中需要重视评估证据的收集和学生个性化学习计划的制订.

经历情境数学化 感悟建模一般化——“正方形拼摆问题”数学建模力测评与教学改进

“正方形拼摆问题”是探讨“周长与面积”关系的基础。以“正方形拼摆问题”为研究对象,设计相关测评工具,在此基础上制订相应的评估量表,划分学生数学建模力的水平层次,并通过实证分析,提出了“经历情境数学化”“感悟建模一般化”的相关教学改进对策。

正方形背景下的等腰直角三角形问题

在期末综合复习课中,教师常会因为知识点的简单枯燥的讲解让学生厌烦,也会因为盲目让学生刷基础题忽略了学生探索思考问题的积极性,总是“讲练结合”,导致课程主体在老师而非学生,学生没有学习的内驱力,依旧是“知识不明,思路不清,错题照错,勤而不精”,所以到底该怎样调动学生去发现,探索,思考,归纳,总结呢?笔者以正方形为背景下的等腰直角三角形问题为例,通过一题一课的教学方法与学生共同学习正方形有关的等腰三角形问题.

低雷诺数下圆杆正方形塔架的阻力系数研究

通过节段模型风洞试验,研究雷诺数Re=307~906时圆杆正方形塔架的阻力系数,分析密实比、湍流度及风速等因素的影响.在试验研究的基础上,对比3种雷诺平均模型在圆杆正方形塔架气动力CFD数值模拟中的适用性,分析Re=300~2.5×10^(4)时阻力系数变化规律及影响因素.试验结果表明:圆杆正方形塔架的平均阻力系数在45°风向角时最大,0°和90°最小,并随密实比和风速的增大而减小,随湍流度的增大而增大;脉动阻力系数受密实比和风向角的影响不大,但随风速和湍流度的增大而增大.CFD数值结果显示:SST k-ω湍流模型在Re≤2.5×10^(4)时更适用于计算圆杆正方形塔架的平均阻力系数;随雷诺数的增大,塔架平均阻力系数在Re=300~585时急剧减小,Re=585~1090时减小趋势少许放缓,Re=1090~2.5×10^(4)时基本保持不变;完全处于上游杆件尾流区的下游杆件阻力系数相比于上游杆件减小50%左右.