爱因斯坦求和约定的推广

爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连续介质力学等学科中,对于表达式和推导的简化,有着十分重要的作用. 本文从两个方面将其加以推广: 当项中括号或量指标重复出现一次时,和当项中i、j、k指标出现一次时,均可按爱因斯坦求和约定,对表达式的简化和推导过程的简化作推广应用.

涉及坐标变换的微分多项式在求和约定下的化简和标准型

在n维微分几何中,基本的几何结构和性质常常用Einstein求和约定的带指标函数局部刻画.这种函数的符号计算虽然是计算机代数里最古老的研究课题之一,但直到现在也没有一个完全的算法来判定涉及不同坐标系的两个指标多项式是否相等.这是计算机代数里的一个挑战性问题.本文针对一种典型的框架:当涉及的坐标变换矩阵的偏导不超过二次时(例如普通的曲率和挠率的局部计算),提出了一个能消去指标多项式中所有冗余指标的消元算法,以及一个将指标多项式化为标准型,从而能完全判定两个指标多项式是否相等的算法.我们在Maple10中实现了以上算法,并用于研究微分几何中的张量判定等坐标变换下的规律问题.

一类Riemann张量指标表达式的标准型完全分类及其在微分几何中的应用

本文研究了n维微分几何中Riemann张量指标表达式的标准型完全分类问题,通过引入指标结构图的概念,证明了规范类型单项式都是标准型,并且构成次数不大于5的Sakai类型单项式的正交基底,由此得到Sakai类型单项式的标准型完全分类,这是次数大于3时标准型完全分类问题的第一个结果.同时给出了相应标准化算法,通过比较说明了该算法比现有算法更加简便,最后应用于自动推导和证明微分几何中关于Riemann张量的一些公式.