具有给定的混合型光滑模的多元周期函数的表现和逼近

1 预备事项R^d表示d维欧氏空间,X=(X_1,…,X_d),Y=(y_1,…,y_d)∈R^d,其数量积记作〈X,Y〉=sum from j=1to(d)X_jy_jf(X)=f(x_1 ,…,x_d)表示实可测函数,对每一变量均以2π为周期.π_d=[0,2π)~d是d维周期2π的立方体.对q,1≤ q≤∞,记f∈L_q(π_d),倘若||f||_q:={(2π)^-d∫|f(X)|~qdx}^(1/q)<∞,1≤q<∞.||f||_∞:=ess sup|f(X)|<∞,q=∞.记f∈L_q(π_d),倘若f∈L_q(π_d)。