直线和圆的易错点归纳剖析

直线与圆的方程是解析几何的基础知识,它不仅涉及几何知识,也涉及广泛的代数知识,综合性较强,对同学们的能力要求较高,在高考题中多以小题的形式呈现,考查也较为全面,除考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、圆与圆的位置关系等问题外,还注重考查等价转化、数形结合、分类讨论等常见的数学思想,近几年对直线和圆的考查方式及题目难度变化不大,同学们由于对基本概念、思想方法、性质的掌握不准确,导致平时解题中经常出现错误,没有达到有效掌握的目的。

一道求空间点到直线距离试题的七种解法

文章通过教材中一道例题的变式,从不同角度对其进行不同解法探究,提高学生的解题能力.

点到直线距离公式在椭圆和双曲线中的推广

一、问题提出距离是一种刻画研究对象在时间、空间上的相隔长度,亦或是人的认知、情感等方面的差距.在中学数学中,距离是一种定义在欧氏几何中的标量,它没有方向、只有大小且非负.点到直线的距离公式是高中数学的重要教学内容,也是高考数学的重点考察对象.

“点到直线的距离”教学逻辑重构路径研究

基于教学逻辑统领教材进行教学设计能提高教学质量,不同的教学逻辑对学生关键能力的培养效果也存在差异.文章以“点到直线的距离”一课教学为例,深度研析了现行教材中公式推导思路与学生认知逻辑之间存在的理解障碍的困惑.结合学生的知识结构,在深度备课中对当前教学逻辑进行重构,凝练出适合发展学生数学学科核心素养的教学路径.

数形分析探其理困难运算究其因——“点到直线的距离公式”探究活动思考与再设计

从“点到直线的距离公式”的实际教学案例出发,分析案例中存在的问题,以教材意图和公式推导中蕴含的数学思想为依据,将“微探究活动”分为提出问题、向量分析法和解析分析法、探究活动小结三个部分.两类分析方法按先几何分析再数学运算的逻辑顺序设计问题,并在解析分析法中提出部分方法的优化方案.

看似节外生枝 实则自然生成--以“点到直线的距离公式”的教学为例

通过引导学生多角度思考点到直线的距离的表征方法,激发学生联想到多种优化计算的方法.在坐标法这个主线确定的基调下,引导学生结合具体问题的常见解法,想到了整体求解,既优化了计算,又突破了学生对字母运算的恐惧心理,呈现了教学中引导学生观察,积累基本活动经验,优化计算的一些方法.

运用几何眼光·提取几何对象·设计运算思路--以“点到直线的距离公式”的推导为例

以设计推导点到直线的距离公式的运算思路为例,给出了解析几何中运用几何眼光观察问题的教学案例;明确了以问题背景,以代数结构和变化过程为观察对象,以几何图形、几何意义和几何不变关系的提取为观察结果.并从运算路径的自然优化、以形启算的思维特点、在计算空间距离时向量方法具有的根本性、表征的多样化和联结的多维度等特点进行了深入的教学思考.

妙用点到直线的距离公式求最值

若直线l的方程为Ax+By+C=0,则点P(x0,y0)到该直线的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2,这个公式看似简单,却能帮助我们解决许多最值问题.有些最值问题似乎与这个公式无关,但当你对它们仔细分析、抽丝剥茧后,便会发现应用点到直线的距离公式可以“直达成功的彼岸”.

借问题驱动 促知识生成——以“点到直线的距离”教学为例

在日常教学中,很多教师急于求成,习惯直接将现有的知识、经验等讲授给学生,不注重知识生成过程,使得学生很多时候只知其然而不知所以然,影响学生学习能力的提升和思维能力的发展.实际上,教师在教学中应重视引导学生经历新知识的生成过程,充分挖掘蕴含其中的数学思想方法,帮助学生积累数学活动经验,掌握数学研究方法,让学生获得终身学习能力.笔者以“点到直线的距离”一课为例,谈谈对生成性教学的一点拙见,供参考.

“易想难算,易算难想”困境中培养学生数学素养——《点到直线的距离公式》教学尝试与思考

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》[1]把“数学核心素养”列入课程宗旨、课程目标,这要求教师要在课堂教学中,重视数学思维的训练,把学生数学核心素养的养成渗透到日常教学中.在数学学习中,尤其是解析几何部分,学生经常会遭遇易想难算或易算难想的困难,如何解决?笔者认为,这恰是培养学生素养的良好时机,应倍加珍惜.本文以《点到直线的距离公式》的推导为例,借鉴一标多本下的不同版本教科书的教法.

推导点到直线距离公式的定义法

赵成海在本刊文[1]中给出了推导点到直线距离公式的7种方法.作为补充,下面给出又一种方法,仿[1]可称之为定义法.记号从[1].

空间直线的向量表示及其在求点到空间直线距离的应用

根据空间直线一般方程的基本特点,利用线性方程组的基本理论,给出了空间直线的向量表示,并结合向量正交的几何意义和一元函数极值的基本求法,给出了两种求点到空间直线距离的简单方法.

指向深度学习的数学单元教学--以《点到直线的距离公式》一课为例

指向深度学习的数学单元教学应该以“大概念-大问题-大过程”为实施路径。教师应该提取贯穿整个单元始终的“大概念”,并在其统领下设计驱动每个课时生长的“大问题”(或称“主问题”),最终让学生的学习成为基于整体螺旋上升(不断深入)的认知建构过程(即“大过程”),促进学生深度理解单元知识,充分发展高阶思维。

研究性教与学:点到直线的距离课例

在平面解析几何直线方程的学习中,“点到直线的距离”是一节非常重要的课.从了解数学知识发生的过程出发,几乎所有教师都会着重于公式的推导,启发学生从不同的角度思考,这几乎成为本节课的标准流程.

基于“两个过程”合理性理念的解析几何教学设计——以“点到直线的距离”为例

在解决解析几何问题的过程中,计算的勇气和方法对学生来说都至关重要.通过课例“点到直线的距离”,在“两个过程”合理性理念的指导下,培养学生学会建立解析几何的数形结合和问题解决的常规思维模式,致力于学生数学思维的培养.

巧用点到直线距离公式求最值

最值问题是函数中的重要问题之一.巧用点到直线距离公式、对求某些类型的最值,将带来极大的方便.

对点到直线的距离公式证明的再探究

《中国数学教育》2．010年第6期刊登了徐纯剐、张琴竽老师的文章“对点到直线的距离公式证明的棵究”中收集了代数法中的三种证法，几何法中的两种证法和向量法中的一种证法，在这个基础上，我们对于点到直线的距离公式的证明进行了进一步的探究，补充了6种新的证明方法，包括代数法中的两种证法、几何法中的三种证法和向量法中的一种证法，在新证法的探究中提升了教师的专业水平，培养了学生创新思维的能力．还存在着其他的证明方法等待着我们的探究与发现．

再探点到直线距离的几种考查

在解析几何中,曲线上任意一点到直线的距离问题、圆切线的长度问题、一些与圆锥曲线有关的三角形、四边形面积的最值以及直线与圆的位置关系问题,最终都可以转化为点到直线的距离问题.鉴于此,笔者认为对点到直线的距离做更多的研究是非常有必要的.经过研究发现,一般对点到直线距离的考查有以下几类.

基于核心知识导图的公式教学——以点到直线的距离公式为例

基于学生认知特点,运用核心知识导图,理清核心知识教学主线,明晰教学思维流程图,引导学生经历点到直线距离公式的探究、证明过程,既讲结果,也讲过程,获得简化策略、优化策略等过程性知识,促使学生的数学思考走向深刻与理性.