等参函数及相关问题研究

著名的Yau猜想断言单位球面中的紧致嵌入极小超曲面的Laplace算子的第一特征值等于其维数.近年来有许多几何学家致力于对Yau猜想的研究,但是到目前为止,已有的结论只是一些关于第一特征值估计的不等式.作为本文的一个主要结果,本文证明了对于单位球面中的等参极小超曲面,Yau猜想是正确的.进一步地,对于等参超曲面的焦流形(实际上是球面的极小子流形),本文还证明了在一定维数条件下,它的第一特征值也是其维数.作为本文的第二个主要结果,以著名的Schoen-Yau-Gromov-Lawson的关于数量曲率的手术理论为出发点,本文在一个Riemann流形的嵌入超曲面处作手术,构造了一个新的具有丰富几何性质的流形,称为double流形.特别地,本文在单位球面的极小等参超曲面处实行了这一手术,发现得到的double流形不仅有很复杂的拓扑(但其示性类有精确描述),还存在数量曲率为正的度量,更重要的是保持了等参叶状结构.比Willmore曲面更广泛的定义是Willmore子流形,即Willmore泛函在球面中的的极值子流形.单位球面中的Willmore子流形的例子在已有文献中是非常罕见的.作为本文的另外两个主要结果,通过深入挖掘单位球面上的OT-FKM-型等参函数的焦流形的性质,本文发现其极大值对应的焦流形是单位球面的一系列Willmore子流形;之后,本文用几何办法统一证明了单位球面中具有4个不同主曲率的等参超曲面的焦流形都是单位球面的Willmore子流形.这些新的Willmore子流形是极小的,但一般不是Einstein的.