球极投影下的Hopf纤维化

Hopf纤维化是代数拓扑中经典的构造.它在理论物理学方面的应用十分广泛.例如:1-1共振(The One-to-one Resonance)、刚体的运动、磁单极子的势场、两态量子系统的Bloch球面(Bloch Sphere)表示、广义相对论里Taub-NUT空间的全局结构以及庞加莱群(覆盖群的)的零质量螺旋度表示等.为了理解此构造,本文通过球极投影给出了Hopf纤维化的几何直观.并且在此基础上利用计算机软件画出了部分的Hopf纤维化.此外,由于在文献[1]中Thurston给出了Hopf纤维化的诸多结论,但缺少证明.本文给出了相关结论的详细证明.

对高职工科“球极式”课程衔接的思考

高职工科专业培养面向生产一线的高素质技术技能人才。当前,高职工科课程显现出衔接不力的问题,即“横向连接不实、纵向连接不畅”。文章遵照“兼容并蓄、融会贯通、纵横交错”的衔接原则,建立“球极式”课程衔接模型,表现为“一个中心、两极引领、三维连体、多元互通”。

球极坐标系下角动量平方算符与拉普拉斯算符的推导--多元复合函数微商法则在量子力学中的应用

采用引入变量的多元复合函数微商法则,将直角坐标系下的1阶偏微分形式变换成球极坐标形式,进而推导出球极坐标系下角动量平方算符与拉普拉斯算符的表达式.这将使得在量子力学中求解Schr9dinger方程、各角动量算符对应的各角量子数变得更加简单.

球极逆投影

借助于球极投影,定义出球极逆投影。在球极逆投影下,先将平面区域映射到球面上,得到球面方程的一种新的形式,再讨论了球极逆投影的性质。

球极投影及其性质

本文研究球极投影的定义、性质及在几何与拓扑学的一些应用。

基于球极射影的TextCC输入向量规范化方法研究

角分类神经网络TextCC可依据余弦相似度对文本快速分类．在定义了n维实空间中的点在n＋1维实空间单位球球面上球极射影的基础上，对n维空间中欧氏距离与n＋1维空间中单位球球面点夹角的余弦的关系进行了定量分析，给出了一种基于球极射影的向量规范化方法．为使TextCC能够依据欧氏距离快速分类，依据球极射影的性质，TextCC隐层权矩阵的构造被规定．

从球极投影看双曲线及其渐近线的封闭性

球极投影把xOy平面上的双曲线及其渐近线变换为球面曲线.利用球极投影公式可导出双曲线及其渐近线的球极投影及其方程,进而可对其投影及自身的封闭性加以分析.

借助于四维坐标的球极平面投影验证SO(4,2)与SU(2,2)间的同态特性

本文借助于四维坐标的球极平面投影,将氢原子变换为一个六维空间中的一个四维谐振子。从而验证了SO(4,2)与SU(2,2)之间的同态特性。

球极投影变换核估计及其逐点收敛速度

本文提出了利用一维核函数构造多维密度函数一个新估计的方法.首先利用球极投影变换将具有密度f(x),X∈Rd的样本变换为具有密度g(y),y∈Ωd+1={y:y∈Rd+1,‖y‖=1)的样本.其次,建立f与g的关系.最后,利用球面数据密度核估计构造f的一个新估计f^n.在核K及密度f(x)满足一定条件(见§1定理1.1)下,获得了f^n到,的逐点强收敛速度.

球极投影变换在统计中的应用

为了拓展球极投影变换在数理统计中的应用,采用球极投影变换导出Box-Muller二维变换抽样公式.球极投影变换是建立Rd空间上的点与单位球面上的点的一一对应关系.对于d=2,通过变量代换,利用球极投影变换可以导出Box-Muller公式.进一步推广,对于d>2,可以导出在多元统计分析中占重要地位的球对称分布.

引力场方程静态球对称解与球极射影理论的研究

采用球极射影的方法描述四维空间中引力场方程的静态球对称解,研究了四维空间中的Schwarzschild空间度量.运用球极射影的方法降低维度,将四维的球对称解的维度降低到三维.在四维超球坐标系中,利用测地线方程,求解了四维超球面的测地线方程,并简明论证了球极射影映射中保形的特性,为将球极射影理论应用到场理论中提供了理论依据.通过球极射影的方法从四维空间向三维空间投影,减少了四维超球坐标中的角度项,再从三维空间向二维空间投影,得到仅含一个角度项的度量表达式,最后得出用球极射影方法描述的四维空间Schwarzschild时空度量.

球极投影的若干性质

介绍了在球极投影下引入的黎曼度量,并介绍了这种度量的一些性质,指出了这种度量与从平直的欧几里德空间标准度量中诱导的黎曼度量是一致的;同时指出在球面上的连续切向量场上必然有奇点存在,这就为球面的量测作了理论上的准备;最后介绍了球极投影下的联络系数及其计算公式。

球极投影中关于透视的两个推论及其应用

本文提出了以投影圆球之赤道平面为投影平面的一种球极投影，首次引入了射影几何理论中关于平面场透视变换的双旋法则，并得到了两个关于球极投影的推论。从而在工程技术界广泛使用球极投影图的应用中，完全可以据此推论来精确地绘制空间直线和平面的球极投影图以及分析解决各种工程实际问题。同时也为使用计算机绘制球极投影图提供了一种简单而实用的数学模型，因此就避免了以往那种繁琐的球面三角学解析运算处理方法。图８、参４。

球极平面逆投影迭代谱聚类算法

提出一种相似矩阵迭代修正并聚类算法,分为偏振定理的谱分离数据和球极平面逆投影的几何分离数据两步.首先将数据谱分解,得到低维距离矩阵;然后投影到双随机矩阵,隐式进行一次球极平面逆投影,几何对称分离数据;最后解算投影后坐标,得到新相似矩阵.实验在人工合成数据和自然数据上进行,结果表明所提出算法修正了数据的相似度,并获得了正确的聚类个数,对尺度参数变化有较强的鲁棒性,聚类性能比修正前有较大提升.

偶极硬球流体第二维里系数的计算

在《热力学与统计物理》中,往往涉及到原子流体的维里系数的计算.作为研究偶极流体相行为的一个补充,同时为了加强学生对理论推导能力的训练,研究了偶极硬球流体的第二维里系数.首先把偶极硬球流体粒子间的各向异性势能写成旋转不变的形式,进而把相应的玻尔兹曼因子作泰勒展开,代入第二维里系数的公式中进行逐项积分计算,最后得到了偶极硬球流体第二维里系数的解析表达式.

旋转曲面和球面的NURBS表示

本文研究了旋转曲面和球面的ＮＵＲＢＳ表示问题，给出了用ＮＵＲＢＳ曲面表示旋转曲面时，计算其控制顶点和权因子的一般公式。利用球极投影导出了球面片的非退化ＮＵＲＢＳ表示。

球面插值PH曲线

本文讨论球面上PH曲线的C1Hermite插值问题。基于球极投影保持PH性质这一特性,通过球极投影把球面数据投影到平面上,构造一条平面PH曲线。然后,逆投影回球面得到一条球面有理插值PH曲线。球面PH曲线对球面数据达到C1插值,拓宽了PH曲线在机器人路径的设计、数控加工的计算等方面的应用范围。

汤若望传入的西方天球投影研究

天球投影是古代西方用来研究天球(或地球)的一种数学方法,明朝末年汤若望在《恒星历指》中给予了介绍.通过分析可知,他介绍的主要有天球平行正投影、球极投影(投影点分别在南极点、春分点和秋分点三种)、球极方位投影和一种变异球极投影(投影点在球体外面).

3-RRR球面并联机器人运动干涉检查及工作空间研究

为了将3-RRR球面并联机器人用于空间定位跟踪的执行机构,以欧拉角描述机器人末端动平台的姿态,建立机器人位置方程,得到了关节转角的表达式。用几何分析的方法给出了机器人具有姿态空间的必要条件以及各关节必须满足的结构约束。将球面机构的连杆表示为球面上的大圆弧,连杆发生的运动干涉表现为两连杆圆弧的相交,采用球极映射的方法将代表连杆的空间圆弧映射为平面曲线,从而使得空间圆弧求交点问题简化为平面曲线求交。同时,考虑并联机器人在动平台的每个姿态下具有多种位置和每个连杆具有两侧边界的实际情形,提出了判别并联机器人发生运动学干涉的准则和流程。在实例中,以机器人各分支同时具有满足关节结构约束条件的运动学解为目标,探索出机器人姿态空间,进一步对姿态空间每一点进行运动干涉判别,得到了连杆运动干涉在姿态空间的分布。

基于Laplace方程的球面正交曲线格网生成方法

为克服基于传统经纬度格网的全球海洋及大气数值模式产生的极点问题,同时顾及全球格网编码便捷及信息查询,该文将立方体球心投影的格网经球极投影转换到二维平面区域,再应用Laplace方程数值求解生成正交曲线格网;然后采用球极逆投影,得到球面上一种新的正交曲线格网。通过与等角球心投影、保角变换两种球面格网生成方法的结果相比较,从格网两边的长度、单元的面积、正交性等指标进行统计分析,对所生成格网的质量进行评价。结果表明,等角球心投影法生成的格网单元大小较均匀,但正交性不理想;Laplace方程法生成的正交曲线格网稍优于保角变换法,可作为应用有限差分方法和有限体积方法的全球海洋及大气大尺度数值模拟的基础格网。