渗透数学文化,聚焦思维型课堂—–以“球的表面积与体积”教学案例为例

以“球的表面积与体积”为例,借助于数学文化和数学史,聚焦思维型课堂进行教学设计,通过探究式教学的模式和螺旋上升式的内容编排,借助于祖暅原理和极限思想,推导形成球的体积和表面积公式,实现学生直观想象、逻辑推理等数学核心素养的形成和发展.

HPM视角下的“球的体积和表面积”教学

HPM(即“数学史和数学教育”)的研究正成为一线教师研究的热点之一,数学史和数学文化在教学中的融入越来越受到人们的重视。如何利用数学史和数学文化促进数学教育成为人们研究的重要课题之一,很多教师和学者进行了不少HPM方面的研究,取得了令人瞩目的成果。然而,在HPM研究中高评价、低应用的现象普遍存在,很多教师在教学过程中存在着数学史材料的简单堆砌,忽视学生学情及对数学史材料的挖掘深度不够等问题。文章以“球的体积和表面积”的教学为例,以HPM的视角设计和实施“球的体积和表面积”的教学,以古人对圆和球的探究过程为主线,再现了古人对球的研究思想方法,让学生经历球的体积和表面积公式的探究历史,体会先哲的智慧,形成直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养,实现全面发展。

n维欧氏空间中球的体积公式与表面积公式之间的微分关系

找到了ｎ维欧氏空间中球的体积公式与表面积公式之间存在的微分关系，并给出了证明。

类比思想引路,数学软件辅助--“球的表面积和体积公式”的探究教学

“球的表面积和体积公式”的教学通常采用直接告知结论(至少是直接提示方法)的方式。实际上,这一内容的教学能够采用引导探究结论(推导公式)的方式:引导学生基于类比思想,根据推导圆的周长公式的方法,想到“水平等角或等距切割成若干层‘小圆片’,近似看作圆台或圆柱求侧面积或体积和,再考察极限逼近准确值”的方法;运用数学软件,处理推导过程中具体而复杂的计算。

关于高中数学教科书中球的表面积公式推导的一点说明

《全日制普通高级中学教科书（必修）数学》第二册（下）第九章“直线、平面、简单几何体”中，在已经推导过球的体积公式的基础上，对球的表面积公式用如下方式进行了推导．

球的体积与表面积计算法的发展史考及指导构想

球的体积与表面积是学校数学教育的传统内容之一 ,按现行的课程与教科书提示的内容与体系进行的指导已不能满足素质教育的要求 ,文章在综述球的体积与表面积发展史的基础上 ,就人类对球的认识、分割求积、球的体积与表面积的关系作了总结与考察 ,并就怎样利用数学史料改善这一内容的学习指导提出了作者的一些构想。

体积与表面积等值的旋转体与内切球

贵刊早在1990年第6期"体积与表面积等值的四面体与内切球"一文中就给出了关于多面体与其内切球的几个有趣结论,十余年后读来仍受启发.本文进一步验证了某些旋转体(圆柱、圆台、圆锥、球缺)也具有同样的性质:

从定义出发,体现数学思想与方法的探究课——对课例“球的体积和表面积”的点评

课例“球的体积和表面积”是一节从定义出发,体现数学思想与方法的探究课,也是一节公式推导课,展现了公式课教学的一般过程,突出了本节课的重点内容,化解了难点.文章着重介绍本课例的一些教学特点和改进建议.

种蛋表面积和体积的新型公式及测算

采用修正椭球的方法,逼真地描绘出了种蛋的几何外形,并推导出了表面积和体积的解析公式。简单测量种蛋的几何尺寸,便能求得表面积和体积的数值。通过模拟图形与照片的比对,发现在几何特征上拟合效果良好。测算得到的体积,与溢水法测得的体积相比,误差小于千分之五。

从球体积的导数是球的表面积谈起

减少一个球体表面．也就意味着球体半径减少一点，这应该是球体微分的极限。换句话说，半径的微分量为dr，那么球体体积的微分量为一张表面的面积量。

球体体积与表面积在教材中呈现方式的比较

球的体积计算,是古代数学家很感兴趣的问题,而且对其探求程度代表了一个国家、民族数学发展的水平.在西方,正确得到球体积公式并证明的是公元前2世纪的阿基米德,证明方法为逼近法.在中国,球的体积计算由2世纪的刘徽提出,200多年后由祖冲之父子通过解决刘徽的"牟合方盖"问题得到解决.在印度,12世纪数学家婆什迦罗利用在球的表面作网络,各格点与球心相连把球分成以球面为底、球半径为高的棱锥而得到计算公式.那么,作为高中几何内容之一的球体的相关内容,我国又是怎样处理的呢?……

巧解外接球体积及表面积

近年来，立体几何中的外接球的有关体积、表面积计算问题在模拟试题以及高考试题中屡屡出现．这些问题对学生而言比较抽象，较难找到解题的切人点和突破口．为此，本文就外接球体积及表面积的求法做初步的探讨．

HPM视角下的“球的体积和表面积”教学

“球的体积和表面积”是苏教版《数学2？必修》第一章“立体几何初步”第三节“空间几何体的表面积和体积”的第三节课.此前,学生已经学习了柱、锥、台的表面积与体积的计算公式,对祖唯原理有了一定的感性认识.教材介绍运用祖唯原理可以证实“一个底面半径和高都等于只的圆柱,挖去一个以上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后,所得几何体的体积与半径为只的半球的体积相等”,进而得到球的体积公式.

亲属活体供肾肾体积与受体体表面积比值对早期移植肾功能的影响

目的探讨亲属活体供肾肾体积(RV)与受体体表面积(BSA)比值(RV/BSA)与术后早期移植肾功能的关系。方法回顾性分析行亲属活体肾移植术的120对供、受体的临床资料。根据RV/BSA将受体分为A组(RV/BSA<65.33 m L/m2),B组(RV/BSA为65.33~76.49 m L/m2),C组(RV/BSA为76.50~96.96 m L/m2),D组(RV/BSA>96.96 m L/m2)。比较4组受体术后估算肾小球滤过率(e GFR),分析RV/BSA与受体术后6、12个月e GFR的相关性。结果 A组术后6个月e GFR明显低于B组、C组和D组(t=2.313,2.947,5.903;均为P<0.05)。A组术后12个月e GFR亦明显低于B组、C组和D组(t=2.189,2.433,2.909;均为P<0.05)。RV/BSA与受体术后6、12个月的e GFR均存在相关性(均为P<0.05)。结论 RV/BSA与亲属活体肾移植术后早期移植肾功能密切相关。

HPM视角下的球体积公式课例研究

1引言,《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出:高中的数学教育应该帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法;提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界[1].在“新课标”的指引下,上海高中数学教科书也进行了全新的设计.以“球的体积”为例,旧版教材将其编排在“几何体的体积”中.

对新编高中数学教材中球面积、球体积公式处理方案的考虑

对新编高中数学教材中球面积、球体积公式处理方案的考虑田载今一、问题的提出国家教委基础教育司编订的《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》（以下简称新大纲），在必修课的“直线、平面、简单几何体”部分的教学目标中，列入了“掌握球的概念，掌握球的性质...

“四法”化解空间几何体的表面积与体积问题

解决空间几何体的表面积和体积问题的常用方法有公式法、构造法、特殊法、参数法。下面就“四法”化解空间几何体的表面积和体积问题进行例析,供大家参考。一、公式法公式法是运用空间几何体的对角线公式,表面积公式,体积公式进行求解问题。例1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积为____。

空间几何体的表面积与体积的计算

多面体的侧面积是所有侧面的面积之和,多面体的表面积是侧面积与底面积之和.解题时,要掌握柱、锥、台和球的表面积与体积公式.下面介绍几种计算空间几何体的表面积与体积的方法,供大家参考.

球的表面积验证演示器

介绍了验证球体表面积公式的教具的思路来源、思维过程、制作原料和方法、使用方法和效果。