在矩阵理论中,关于标准形的问题占有相当重要的地位,这是因为把矩阵化成标准形后,不仅仅是形式简单,而且重要的是利用标准形解决理论与实际中的有关问题十分方便。本文仅讨论正交相似变换下的标准形在证题中的一些应用。定理:设 A 是实...在矩阵理论中,关于标准形的问题占有相当重要的地位,这是因为把矩阵化成标准形后,不仅仅是形式简单,而且重要的是利用标准形解决理论与实际中的有关问题十分方便。本文仅讨论正交相似变换下的标准形在证题中的一些应用。定理:设 A 是实对称矩阵,则存在正交矩阵 Q,使得Q′AQ=Q<sup>-1</sup>AQ=diag（λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,…,λ<sub>n</sub>）……（1）或 A=Qdiag（λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,…,λ<sub>n</sub>）Q<sup>-1</sup>……（2）其中λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,…,λ<sub>n</sub> 是 A 的特征值,（1）式称为 A 在正交相似变换下的标准形（该定理在一般的线性代数书中均有证明）。应用一利用（1）式对实对称矩阵作和分解。例1.秩为 r 的实对称矩阵 A 能表成秩为1的 r 个对称矩阵 A<sub>1</sub>的线性组合,其组合系数为 A 的特征值。展开更多
文摘在矩阵理论中,关于标准形的问题占有相当重要的地位,这是因为把矩阵化成标准形后,不仅仅是形式简单,而且重要的是利用标准形解决理论与实际中的有关问题十分方便。本文仅讨论正交相似变换下的标准形在证题中的一些应用。定理:设 A 是实对称矩阵,则存在正交矩阵 Q,使得Q′AQ=Q<sup>-1</sup>AQ=diag（λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,…,λ<sub>n</sub>）……（1）或 A=Qdiag（λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,…,λ<sub>n</sub>）Q<sup>-1</sup>……（2）其中λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,…,λ<sub>n</sub> 是 A 的特征值,（1）式称为 A 在正交相似变换下的标准形（该定理在一般的线性代数书中均有证明）。应用一利用（1）式对实对称矩阵作和分解。例1.秩为 r 的实对称矩阵 A 能表成秩为1的 r 个对称矩阵 A<sub>1</sub>的线性组合,其组合系数为 A 的特征值。
