相对Alexandrov-Fenchel型不等式

Alexandrov-Fenchel不等式是凸几何中的重要不等式之一,它的特殊形式可以看作是高阶均质积分之间的等周型不等式.近年来,带自由边界或毛细边界超曲面获得了很多关注.本文从微分几何角度研究球体内或半空间中带有自由边界或毛细边界凸超曲面上的一类相对Alexandrov-Fenchel型不等式,并综述它的最新进展.首先,介绍单位球体或半空间中毛细边界超曲面的高阶Minkowski型积分公式.从第一变分角度给出单位球体或半空间中毛细边界超曲面的均质积分的定义.然后,本文利用Minkowski型公式构造局部限制型的超曲面曲率流,通过分析流的长时间存在性和收敛性,证明单位球体和半空间中的一类相对Alexandrov-Fenchel型不等式.

R^(n)中的广义逆Bonnesen型不等式

等周问题在积分几何中具有举足轻重的地位.该文主要研究R^(n)中等周不等式的逆形式,即广义逆Bonnesen型不等式.该文获得了R^(n)中几个新广义等周亏格上界的结果,作为推论,得到了更一般的平面上的逆Bonnesen型不等式;最后给出其中三个上界结果之间的最佳估计.