一类二次矩阵方程的牛顿迭代法及其收敛性

二次矩阵方程是科学与工程计算中一类重要的方程,探讨有效的数值方法是一项有意义的工作,拟生灭过程在股价模拟、库存控制、排队论等很多领域都有着重要的应用,对一类来源于拟生灭过程的特殊的二次矩阵方程进行了研究。在最小非负解存在且唯一的假设条件下,提出了牛顿迭代法并证明其收敛性。当初始矩阵取零矩阵时,牛顿迭代法产生的矩阵列收敛到方程的唯一最小非负解。最后通过数值例子验证算法的有效性与可行性。

基于矩阵半张量积解四元数广义Sylvester矩阵方程组

该文利用矩阵半张量积求解四元数广义Sylvester矩阵方程组.首先将实矩阵半张量积运算推广到四元数矩阵,进而利用四元数矩阵半张量积提出四元数矩阵在向量算子下的一些新结论,利用这些结论将四元数矩阵方程组转化为四元数线性方程组,最后转化为实线性方程组,从而得到四元数广义Sylvester矩阵方程组有解的充要条件及通解表达式,并给出其极小范数解.最后通过数值算例说明该方法的有效性.

四元数矩阵方程(A_(1)XB_(1),…,A_(k)XB_(k))=(C_(1),…,C_(k))的极小范数最小二乘Toeplitz解

基于四元数矩阵实表示,结合矩阵H-表示和矩阵半张量积提出一种求解四元数矩阵方程(A_(1)XB_(1),…,A_(k)XB_(k))=(C_(1),…,C_(k))的极小范数最小二乘Toeplitz解的有效方法,给出该四元数矩阵方程存在Toeplitz解的充要条件及通解表达式.给出数值算法并通过算例分别从误差与计算时间两个方面验证该方法的有效性.

求解Lyapunov矩阵方程的梯度优化算法

通过Kronecker积将Lyapunov矩阵方程的求解问题转化为优化问题,利用带有回溯的Barzilai和Borwein梯度迭代算法求解无约束最小化问题,并详细分析了其收敛性.通过数值算例说明所推导算法是有效的.

连续Sylvester矩阵方程的参数化单步HSS迭代法

对连续Sylvester矩阵方程的数值算法进行了深入研究,并创新性地提出了一种参数化单步HSS迭代方法。该方法具有独特的求解思路,并证明了其收敛性。为提升性能,通过最小化迭代矩阵谱半径上界寻找拟最优参数。数值实验验证了新方法的有效性和稳健性,展示了其在求解连续Sylvester矩阵方程时的高效和稳定,为相关数值计算提供新工具。

求解广义周期Sylvester矩阵方程的有限步收敛算法

提出求解广义周期Sylvester矩阵方程的双共轭残差(biconjugate residual,BCR)算法。在理论方面,证明了该方法在不考虑舍入误差的情况下具有有限步内收敛性;在实验方面,对比数值结果验证了该方法的高效性。

基于复西尔维斯特矩阵方程的改进双阶尺度分裂数值计算方法

连续时间的矩阵方程是矩阵方程中十分重要的一个类型,在矩形域上的椭圆边值问题的数值解法、线性统计、振动结构的共振控制、二次矩阵的特征值配置问题、受噪声影响的图像复原等问题中有重要地位。由于连续时间的矩阵方程广泛的应用背景,因此,对连续时间的Sylvester方程的数值解法的研究具有重要的理论和实际意义.改进的双步尺度分裂(MDSS)方法是研究一类大型复杂对称线性系统的一种有效方法。在本文中,我们将在双步尺度分裂(DSS)方法的基础上通过改进,得到MDSS方法,来求解复数域上的连续时间的西尔维斯特矩阵方程的近似解,证明了该迭代序列在任意初始条件的情况下都收敛于西尔维斯特矩阵方程的唯一解,并确定了其最优参数和相应的最优收敛因子。最后,给出了一个测试问题来说明该新技术的有效性。

一类矩阵方程的解及其应用

目前许多力学问题,如计算物理、地质学、结构设计、分子光谱学、电学、参数识别、自动控制、商务智能、线性系统理论、大数据分析与动态分析等领域,都要依赖于矩阵方程。研究了矩阵方程AX=B的求解问题,给出了矩阵方程AX=B有解的新判别条件及其通解表达式,推广了矩阵方程AX=B的判解条件和通解形式;例题表明简化了矩阵方程AX=B的求解过程,同时也简化了向量组的线性表示式和基到基的过渡矩阵计算,这对于充实矩阵方程的求解理论和简化计算均是有益的。

关于求解矩阵方程AXB = C的广义Richardson迭代及其收敛性

本文研究了对于方程AXB = C在传统的Richardson方法基础上,与外推法结合得到的广义Richardson迭代方法。首先,提出广义Richardson迭代方法,然后证明其收敛性。最后,通过数值实验,验证了该迭代方法比传统的渐进迭代逼近法方法(PIA)更有效。

一类广义Sylvester矩阵方程组对称解的MCG算法

该文建立了求解一类广义Sylvester矩阵方程组对称解的修正共轭梯度算法(MCG算法),给出了MCG算法的性质和收敛性证明,在忽略舍入误差情况下,建立的MCG算法能在有限步迭代后得到该方程组的对称解.选取特殊初始矩阵时,可求得该方程组的极小范数对称解.任意给定初始矩阵,可以在约束解矩阵集合中求出给定初始矩阵的最佳逼近矩阵.数值算例验证了所建立算法的可行性.

GNN求解线性矩阵方程之鲁棒性仿真研究

近年来,梯度神经网络(GNN)因其内在的并行和分布处理、硬件可实现等特性而受到众多学者的关注,在线性矩阵方程的实时求解方面得到广泛应用。在之前文献研究无噪声情况下求解线性矩阵方程的GNN模型的基础上,仿真研究了有噪声干扰下该模型的鲁棒性。计算机仿真结果表明,通过增大模型参数,可以有效地减少模型的稳态解误差。

动力学矩阵方程法求解一维至三维晶格声子色散关系

本文通过动力学矩阵方程求解了一维到三维晶格振动的声子色散关系.与传统的本科生固体物理课程中通过哈密顿正则方程方法求解一维原子链经典模型相比,构建动力学矩阵,使得从一维拓展到三维晶格声子色散关系的求解方程在形式上更具有统一性和普适性,有助于从思维方式上建立一维到三维晶格振动的连续的物理图像.在数值求解三维晶格振动以及考虑非谐效应的影响时,该方法亦提供了更好的便利性.

四元数矩阵方程最小二乘Toeplitz解的半张量积方法

研究了四元数矩阵方程■的最小二乘Toeplitz解和Hermitian Toeplitz解的问题.联合使用四元数矩阵的实向量表示方法和矩阵的半张量积方法,将所研究的问题转化为实矩阵方程.根据Toeplitz矩阵以及Hermitian Toeplitz矩阵的结构特征,提取了矩阵中的有效元素,构造了新的解向量,降低了所研究问题的复杂度.得到了方程存在Toeplitz解和Hermitian Toeplitz解的条件,并给出Toeplitz解和Hermitian Toeplitz解的一般形式.通过数值算例说明了方法的精度和算法的可行性.

用无穷矩阵方程求解第二类Stirling数表示的自然数幂和

讨论了4个用第二类Stirling数表示的自然数的幂和公式.利用升阶乘和降阶乘的定义式,得到关于各阶幂和的递推关系,用求解无穷矩阵方程的方法给出用第二类Stirling数表示的幂和公式,并证明了它们之间的等价性.

Sylvester四元数矩阵方程Hankel解的半张量积方法

本文研究了Sylvester四元数矩阵方程A_(1)X_(1)B_(1)+A_(2)X_(2)B_(2)=C的最小二乘Hankel解的问题。将四元数矩阵的实向量表示方法和矩阵的半张量积方法联合起来,将所研究的四元数问题转化为实矩阵方程。根据Hankel矩阵的结构特征,提取了矩阵中的有效元素,构造了新的解向量,降低了所研究问题的复杂度。得到了方程存在Hankel解的条件,并给出Hankel解的一般形式。最后,给出了求解所讨论问题的算法。

求解四元数矩阵方程A^(H)XA=B的基于矩阵半张量积的新方法

四元数线性系统在控制理论和工程中有广泛的应用。利用矩阵半张量积对四元数矩阵方程进行研究,提出四元数矩阵的一种实向量表示并研究其性质。结合实向量表示与矩阵半张量积,给出四元数矩阵方程A^(H)XA=B的极小范数Hermitian解的存在条件及通解表达式,并且给出相应算法。数值实验证明了实向量表示方法的可行性。

用无穷矩阵方程证明雅各布·伯努利的幂和公式

将自然数的各阶幂和所满足的一个递推关系式写成矩阵方程的形式,通过对该矩阵求逆,发现逆矩阵中的元素可以用Bernoulli数很好地描述,从而获得各阶幂和所满足的一种用Bernoulli数表示的通用公式。通过将公式中的组合数用二项式定理展开,比较n的幂次的系数,证明了与雅各布·伯努利的公式的一致性。

Hurwitz-Radon矩阵方程的华罗庚链

1947年,华罗庚独立研究了Hurwitz-Radon矩阵方程,遗憾的是由于失误他未能得出完整结果。文章补充完善了华罗庚对于Hurwitz-Radon矩阵方程的求解。遵循华罗庚的思路,所采用的方法是矩阵的相似标准型。得到了华罗庚链,并通过酉化技巧得到其酉版本。

Sylvester矩阵方程的改进IO迭代算法

通过对Sylvester矩阵方程的理论分析,可知IO迭代算法中迭代矩阵的谱半径随内迭代次数的增大而减小,更新了IO迭代算法中内迭代次数的选择方法,并证明了该算法收敛性与初始矩阵无关。Sylvester矩阵在满足一些特定条件下,为了进一步提高收敛速度,可通过选择适当的相关参数,使得IO迭代算法有较好的收敛速度且比Smith算法的迭代次数明显减少。

矩阵方程AX=B的谱范数约束解

奇异值分解是求解约束矩阵方程的有效手段.首先根据奇异值分解得到矩阵方程解的分块表达式,再利用分块矩阵的保范扩张定理,得到相容矩阵方程AX=B在谱范数约束下的一般解、Hermitian解和半正定解.