概念辨析过程中的数学变式教学——以矩阵的相似与合同为例

矩阵的相似与矩阵的合同这两个概念很容易混淆,所以需要对它们进行辨析。它们的相同点、不同点及二者的相互转化,都体现着数学变式教学的观点。以这一观点作为出发点和归宿,既验证了数学变式教学本身的解释力,又为辨析矩阵的相似与矩阵的合同这两个概念找到新的研究视角。

矩阵的γ阶相似性

本文首次给出了两个矩阵γ阶相似的概念，并得到了矩阵γ阶相似的充要条件及γ阶相似下关于矩阵的秩、特征多项式的一些性质，从而进一步丰富了矩阵的相似理论。

矩阵的合同、相似与二次型

矩阵的合同关系、相似关系都是等价关系 .它们虽然不同 ,但又有联系 .对称矩阵是这两个知识点的交汇点 ,即两个实对称矩阵合同当且仅当它们相似 .进一步得到二次型可以通过一个正交变换化为标准型 .这一理论是高等代数教科书的重要内容 .然而 ,现行的教科书对该理论的证明至少涉及到二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间的内容 .本文利用欧氏空间的正交性质给出这一理论新的简洁证明 。

对合矩阵与对角矩阵相似的一种证法

我们利用向量组的线性相关性以及分块矩阵的运算性质给出了下列命题的另一种有趣的证法：若n阶对合矩阵A满足条件秩（A＋In）=r，则A相似于对角矩阵diag{Ir，-In-r}．这种证法连同Schmidt标准正交化方法一起，还可以用来证明：当上述矩阵A是实对称（Hermite）矩阵时，A正交（酉）相似于对角矩阵diag{Ir,-n-r}．

二、三阶可逆矩阵可以相似对角化的几何条件

从几何的角度给出了特征值不含1的二、三阶可逆矩阵可以相似对角化的一个充分条件和二、三阶可逆矩阵可以相似对角化的一个充分必要条件.

关于分块矩阵相似性的探讨

本文在已有文献的基础上,给出了当A1、B1为对合矩阵时,分块矩阵与相似的充分必要条件是A1C+CB1=0。当A1、B1为k-幂零矩阵时,上述两分块矩阵相似的充分条件是和A1C+CB1=0。最后对A1、B1为k-幂零矩阵进行了进一步讨论。

3阶对合矩阵的一种分类

3阶对合矩阵的一种分类。按照这种分类,全体3阶对合矩阵一共可以分成76种类型。

关于幂等阵的相似与线性组合

证明了数域上两个同阶幂等阵相似的充要条件是它们有相同的秩;给出了幂等阵的相似标准型;讨论了两个幂等阵的线性组合仍是幂等阵的充要条件.

与反对合矩阵可交换的对合矩阵

讨论与反对合矩阵可交换的对合矩阵,主要结果如下:(1)与n阶反对合矩阵可交换的对合矩阵的一种表示;(2)对于2阶反对合矩阵A,如果A≠iI(I是单位矩阵),那么与A可交换的对合矩阵一共有4个,它们是±I和±iA;(3)对于3阶反对合矩阵A,如果A≠iI,那么与A可交换的全体对合矩阵为±I和±iA以及±P11k-1P-1,±P-11k-1P-1,P1k l1-k2l-kP-1,P-1k l1-k2l-kP-1其中k是任意复数,l是任意非零复数;当tr(A)=-i时,P是A与diag{i,-i,-i}这一对相似矩阵之间的一个相似因子;当tr(A)=i时,P是A与diag{-i,i,i}之间的一个相似因子。

与对合矩阵可交换的反对合矩阵

讨论与对合矩阵可交换的反对合矩阵。主要结果如下:(1)给出了与n阶对合矩阵可交换的反对合矩阵的一种表示;(2)对于2阶对合矩阵A,如果A≠±I(I是单位矩阵),那么与A可交换的反对合矩阵一共有4个,它们是±iI和±iA;(3)对于3阶对合矩阵A,如果A≠±I,那么与A可交换的全体反对合矩阵为±iI和±iA,以及■其中k是任意复数,l是任意非零复数;当tr(A)=-1时,P是A与diag{1,-1,-1}这一对相似矩阵之间的相似因子;当tr(A)=1时,P是A与diag{-1,1,1}之间的相似因子。

分块矩阵的相关应用

本文主要应用分块矩阵的概念、性质以及分块矩阵的初等变换,对矩阵乘法的秩的定理提出了新的证明方法,并且给出了一类矩阵求逆的接单方法,同时一类特殊矩阵的相似问题。

有理对称矩阵的准正交相似

对一个有理对称矩阵A,用线性代数的理论直接证明了存在准正交矩阵P使得P^(-1)AP成为A的有理标准形,并给出了P的算法.

等价关系在代数教学中的简化作用

提出了代数中"相等关系"和"等价关系"两者之间的异同,进一步用代数中等价关系的一些具体形式:矩阵的初等变换,矩阵的相似,矩阵的合同,并结合实例说明了等价关系在代数教学中的简化作用。

强正交空间的性质

通过引进强正交空间的概念并证明了强正交空间上的对称变换的一些结论,得到了关于一般数域上的对称矩阵相似于对角形矩阵的一个有意义的结果.

Schur定理的推广

为了计算特征0的代数闭域上两两弱交换矩阵线性无关的极大维数,依据分块矩阵理论,采用数学归纳法,得到上三角矩阵空间的弱交换空间的极大维数,并且给出具有极大维数的弱交换空间的一组基底;利用Jacobson弱闭集定理,将一般线性Lie代数的交换子代数或特殊Jordan代数的交换子代数同时上三角化,即在相似意义下,这2种交换子代数的所有矩阵都可以看作上三角矩阵,进而得到2种交换子代数的极大维数。结果表明,Schur关于两两交换矩阵构成的线性空间极大维数的定理得到推广,并且统一得到了有限维交换Lie代数与交换Jordan代数忠实表示的极小维数。

一个涉及“高等代数”几乎所有主要内容的习题

分别借助矩阵代数、线性空间、线性变换和λ-矩阵等四套相关理论用五种方法解答"高等代数"课程中的一个典型习题.

工程数学

关于复Hermite矩阵的线性保持;整数环上对合矩阵的相似标准型;对合Pascal矩阵的判别定理;自旋为1的三粒子Hei senberg XXX链中杂质对热纠缠的影响;