纸间线面寻关联,数学模型促生长——以“空间直线、平面的垂直”复习课教学为例

1教材与目标分析“空间直线、平面的垂直”是人教A版必修2第八章“立体几何初步”中最后一节内容,因此“空间直线、平面的垂直”的复习课既是对本节内容的综合提升,也是对本章所学内容的小结,承担了部分章小结课的功能,对更新和完善学生立体几何知识体系起着重要的作用.

聚焦核心素养 提升复习质量——以“空间直线、平面的垂直”单元复习课为例

单元复习课是学生在较短的时间内再次完整地经历单元学习的全过程,深化知识理解,构建认知结构,归纳提炼方法策略,深化思想方法认识,发展核心素养,是一个螺旋上升的过程.不久前,宁波市教育局教研室举行市直属高中数学优质课评审,主题为“核心素养视角下的高中数学单元整体教学复习课研讨”,笔者讲授的内容为人教A版必修第二册立体几何中“空间直线、平面垂直”单元复习,现把这节复习课整理成文,供各位参考,欢迎指正.

基于差分蜂群算法的空间直线度误差评定

提出基于差分蜂群算法进行空间直线度误差评定。首先,基于产品技术几何规范(GPS)公差标准,用最小二乘法拟合计算得到符合最小区域条件的空间直线度误差评定的数学模型;然后,对差分进化算法的缩放因子进行改进,将改进后的差分进化算法与人工蜂群算法混合迭代优化,测试函数仿真显示,差分蜂群算法在计算精度、收敛速度方面存在一定的优势;最后,通过两个评定实例进行研究与对比分析。结果表明:差分蜂群算法相对于粒子群算法、混合教与学算法、最小二乘与鱼群混合优化算法在评定空间直线度上的计算精度分别提高了83.9%、54.5%、54.6%,相对于差分进化算法、人工蜂群算法的收敛速度有较明显提高。

空间直线拟合新方法

首先证明了正交距离最小二乘准则下拟合的空间直线必经过数据中心点,再以此为基础提出了一种空间直线拟合新算法。该方法不用迭代,计算简便。证明了正交距离最小二乘准则和整体最小二乘准则在拟合空间直线上的等价性;为增强算法的抗粗差能力,增加了RANSAC策略识别粗差;结合案例,分别采用BFGS、SQP优化算法以及整体最小二乘法对该方法进行验证,从而证明其准确性和有效性。

基于三维最小二乘方法的空间直线度误差评定

空间直线度误差是评定机械产品精度的一项重要指标,实际工程中对空间直线度误差评定算法的精度要求越来越高.为了准确评定空间直线度误差,参照国家标准(GB/T 11336—2004),采用三维最小二乘方法建立了空间直线拟合的数学模型,并给出了该数学模型的精确解.基于最小二乘拟合中线,采用空间投影、坐标变换和格点法求得最小二乘中线包容圆柱面直径.采用数值算例验证了新方法的有效性.提出的空间直线度误差评定方法精度高、鲁棒性好且易于编程实现.

空间直线生成的双步算法

将二维直线生成的双步算法推广到三维空间,得到三维直线生成的双步算法。该算法与传统的三维直线生成算法相比,效率更高,精度较好,可用于三维图形图像的处理以及数控加工的空间直线插补。

空间直线的向量表示及其在求点到空间直线距离的应用

根据空间直线一般方程的基本特点,利用线性方程组的基本理论,给出了空间直线的向量表示,并结合向量正交的几何意义和一元函数极值的基本求法,给出了两种求点到空间直线距离的简单方法.

整体最小二乘和最小二乘拟合空间直线的比较

给出整体最小二乘法拟合空间直线的一种迭代算法。将空间直线垂直投影到坐标平面,分别采用整体最小二乘法和最小二乘法拟合直线。对坐标点等精度观测、非等精度观测和坐标分量非等精度观测3种场景进行模拟计算,比较两种方法估计的参数和验后单位权方差,并对三维激光扫描仪实测数据拟合结果进行分析。

基于多点空间直线拟合的调炮精度检测方法

针对火炮身管上标记两个点检测调炮精度受制于单个空间点坐标测量精度的问题,提出通过增加身管上标记点的冗余数量来提高调炮精度的检测方法。应用最小二乘原理对多个空间点进行直线拟合,并采用Monte Carlo方法对身管指向的测量精度进行分析。结果表明:标记4个点、5个点、6个点和7个点与标记2个点(传统方法)相比,其身管指向的测量精度分别提高了约6%、18%、19%和21%。该方法适用于对调炮精度检测要求较高的场合,综合考虑工作效率和测量精度这两个因素,推荐标记5个点测量身管指向。

空间直线拟合的无迭代算法

在对核电工程中一些大型构件的实际测量的数据处理过程中,经常会遇到空间直线拟合的问题。结合ObjectARX技术,提出一种拟合空间直线的无迭代算法,并在实际运用中取得良好的效果。

评定空间直线度误差的3DLSA算法研究

为了有效地评定空间直线度误差,并得出正确度较高的误差值,运用几何学、误差理论和最优化原理,参照相关国家标准,提出了评定空间直线度误差的三维最小二乘算法(3DLSA),推导了3DLSA算法的数学模型,实现了空间直线的三维拟合。按该算法编制程序进行了数字实验。实验结果表明,3DLSA算法是一种有效的算法,在空间直线度误差评定中,比两端点连线算法、LSM算法及其他多种算法具有更好的鲁棒性和更高的正确度。

GIS中三维空间直线的误差熵模型

从信息熵的角度提出了三维空间直线的误差熵模型,该模型由以垂直直线的平面误差熵为半径的圆柱体和两端点的误差球组成,是一种完全确定的度量空间线元不确定性的模型。理论分析与实验表明,本文所提出的模型具有较好的效果。

一种拟合三维空间直线的新方法

提出了一种基于稳健总体最小二乘的三维空间直线拟合新方法。该方法以加权总体最小二乘为基础,通过删除点到拟合直线距离过大的观测点来抵抗粗差的影响,获得空间直线参数的稳健估计值。试验表明,当观测数据中不含有误差时,加权最小二乘法、加权总体最小二乘法和本文方法的参数估计值高度一致;当观测数据包含粗差时,本方法的参数估计值明显更接近真实值。

欠驱动UUV的空间直线路径跟踪控制

针对欠驱动无人水下航行器(UUV)设计了基于视距导航法的路径跟踪控制方法。采用视距导航法建立欠驱动UUV的路径跟踪误差模型将位置误差控制转换为航速控制、艏向角控制和纵倾角控制,使得路径跟踪问题的输出空间从6个自由度降为3个自由度。对简化的3个自由度设计控制器,并证明了控制器的稳定性。最后以空间平行于x轴的直线为参考路径进行了路径跟踪控制仿真,验证了该方法的有效性。

LSM算法评定空间直线度误差的分析与改进

为了有效地提高评定空间直线度误差的精度,运用几何学、误差理论和最优化原理,深入分析了LSM算法在空间直线度误差评定中所存在的原理缺陷;并改进了LSM算法,提出了改进LSM算法的数学模型.对改进LSM算法编制程序进行了数字实验,结果表明:改进LSM算法克服了LSM算法的原理缺陷,具有较高的精度.

空间直线度误差评定的新算法

针对在坐标测量机CMM上测得的空间直线度误差测点集(测点序列),为提高空间直线度误差的评定精度,运用误差理论和最小二乘原理,提出了基于测点集中心的最小二乘算法(LSABC算法),推导出了LSABC算法的数学模型。并根据其基于测点集中心的特点,在按LSABC算法对全部测点进行高低排序后,以其中两最高点的中点为基点,设计出了LSABC改进算法。最后,利用UG/GRIP语言对以上新算法编制了计算机程序,以进行数字实验验证。数字实验结果表明:新算法比传统的最小二乘算法和其他多种算法具有更高的正确度。

基于变步长天牛须搜索算法的空间直线度误差评定

为提高空间直线度评定精度,建立了空间直线度数学模型。采用变步长天牛须搜索算法对目标函数进行求解,主要包括天牛须搜索及变步长等步骤。针对原始天牛须搜索算法求解精度不高,易陷入局部最优等问题,设计变步长方法,增强算法多样性,从而充分提高计算精度。对其进行求解,并根据终止准则得到计算结果,将该寻优结果与其他方法的评定结果相比较,验证了该算法的可行性及优越性。

全最小二乘和全加权最小一乘准则下的空间直线拟合

讨论空间直线拟合问题,在使得点到空间直线距离平方和最小准则下,给出一种基于主成分分析的直线拟合方法,并且在使得空间点到直线加权距离和最小准则下,给出了拟合直线的优化方法。算法简单,在计算机上实现方便。最后,数值仿真验证了算法的有效性,并讨论了空间中圆周拟合问题。

空间直线度误差评定的LSABC算法研究

空间直线度误差是最复杂的形位误差之一,其评定算法一直处于探索之中.针对在坐标测量机CMM上测得的空间直线度误差测点集,为提高形位误差的评定精度,提出了基于测点集中心的最小二乘算法(LSABC算法),根据误差理论和最小二乘原理,开发了LSABC算法的数学模型.并利用UG/GRIP语言对该算法编制了计算机程序,进行了数字实验验证.数字实验结果表明,该算法比传统的最小二乘算法(LSM)和其他多种算法具有更高的正确度.

空间直线度最小二乘评定结果的不确定度估计

评定模型的非线性和不可微给空间直线度最小二乘评定结果不确定度的估计带来困难,由空间直线度最小二乘评定模型出发,参照ISO国际测量不确定度表示指南,对影响不确定度估计的一些因素加以简化,推导了不确定估计公式。根据测量数据将推导公式估计结果与蒙特卡罗法运算的结果进行比较,结果表明采用本方法与蒙特卡罗方法获得的结果相符合,且本方法所用时间较少。