寻找共同逻辑基础构建相同学习路径——以“等式性质与不等式性质”为例

等式与不等式是刻画相等关系与不等关系的重要模型.等式性质与不等式性质是数量大小关系的本质属性,具有逻辑上的一致性与表达上的相似性,剖析等式性质中蕴含的思想方法,以不等关系自身的特性和运算过程保持的不变性为指导,构建连贯一致的学习路径探究不等式的性质,是落实数学核心素养培养,促进学生学会学习的必然选择.

巧设“问题串”驱动“教与学”——以“等式性质与不等式性质(1)”为例

“数学问题串”是教师根据教学内容在课外预设的围绕某一教学目标按照一定逻辑结构进行渐进式的、全方位的一系列设问.以“等式性质与不等式性质”(第一课时)教学为例,利用“问题串”驱动教与学,分散本节课的教学重点与难点、激发学生的探究与思考、发展学生的数学核心素养.

追溯问题本质落实“四基”培养--以“等式性质与不等式性质(2)”的教学为例

文章创设适切的问题情境,引导学生思考数学内容的本质,对等式的基本性质进行梳理,归纳其中蕴涵的数学思想方法,开展对不等式基本性质和常用性质的探究.在教学中,注重思想方法的渗透和活动经验的积累,培养学生的数学理性思维,落实“四基”.

含有绝对值的不等式的性质及其应用

含有绝对值的不等式的性质||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是处理相关的含有绝对值问题的一个重要工具,对于一些涉及绝对值的不等式的求解、证明及应用等都有一定的效能。

对一道不等式问题的多解探究

对于不等式中的最值问题,特别是多变量的不等式问题,常见的处理策略是消元,转化为单变量问题,再利用经典不等式或导数的性质进行求解.但这样的解法很难揭示出问题的本质,笔者认为如果能从“形”的视角,将不等式转化为图形语言,再利用几何性质求解,能够更加直观的领悟问题的设计原理与意图.

不等式易错题分类剖析

不等式常与其他模块知识相结合进行考查,属于常考内容。一是考查不等式的性质与解法,二是考查基本不等式。这一部分既要熟练掌握不等式的性质,又要掌握灵活变形构造基本不等式求解最值与范围问题的方法。下面就同学们的易错点进行分类剖析。

界点分段讨论妙解含参一元二次不等式

人教A版必修第一册(2019版)将有关一元二次不等式的内容(原来这块内容安排在旧的A版教材必修五最后一章)前移至第二章,作为预备知识有它的合理性,因为无论前期所学的集合还是后面要学的函数性质,都要用到该块知识.例如,教材在第二章结束后的习题2.3中就安排了综合运用的第3题和第5题.

“等式的性质”教学设计

在“等式的性质”一课的教学中,在单元整体教学思想的指导下,让学生经历“比较中感知、实验中归纳、辨析中理解、应用中内化、总结中提升、作业中拓展”的研学过程,让学生通过实验归纳与类比探究,逐步掌握等式的性质,提高学生的运算能力和推理能力,使之感悟探究规律的基本方法,逐步培养学生学会学习.

一类二阶非线性摄动微分不等式的渐近性质

研究了一类二阶非线性摄动微分不等式非振动解的渐近性质,在一定条件下,建立了3个新的渐近性定理,推广和改进了已知的结果.

求解一类变形变分不等式的投影收缩算法及其性质

对一类变形的变分不等式：求，使得提出了一类投影收缩算法，并得到了该算法的收敛性及相关性质．

一阶非线性具偏差变元的微分不等式解的性质

研究了一类一阶非线性时滞微分不等式及方程解的性质.通过引进一个新的变换,获得了其解的有关振动性质的一些新的结果.所用的方法也适用于时超微分不等式及方程.所得结果推广了已有文献的相应结论.

关于函数极限及其不等式性质的思考

讨论了函数概念引入的合理方法,得到写出各种类型函数极限定义的形式化方法;并对极限的不等式性质间的关系进行了讨论,得到极限的这个性质的本质.

凸函数的性质及其在不等式证明中的应用

通过讨论实函数中的一类特殊函数——凸函数及凸函数的性质,并利用函数的凸性证明一些初等不等式、函数不等式和积分不等式。

一类二阶非线性微分不等式的振动性质

研究了一类二阶非线性微分不等式解的振动性质,建立了 3 个新的振动性定理.

数阵中的不等式性质及其应用(1)

给出数阵中不等式的７个基本性质，并利用其中一个性质导出一个新的分式不等式，最后给出这个不等式在一系列竞赛不等式中的应用．

一致域和最大-最小不等式性质

引入区域的最大最小不等式性质，研究最大最小不等式性质和一致域的关系，得到了下述结果：（1）区域的最大最小不等式性质具有拟共形不变性；（2）如果区域D是一致域，则D具有最大最小不等式性质；（3）若D和它的外部D^＊=^-R^2／^-D具有最大-最小不等式性质，则D是^-R^2中的一致域．

凸函数及其性质在不等式证明中的应用

对凸函数及Jensen不等式在证明不等式中的应用进行了讨论.

数论性质在不等式问题中的应用

（本讲适合高中）数论与不等式是奥林匹克数学的两个重要分支，在解数学竞赛题时，需要解题者将这两方面的知识与技巧融合起来，如一些不定方程需要利用不等式估计来求解或研究解的性质，反之，在一些上下界估计的问题中，除了代数技巧之外，还需要借助整数的特性．本文主要针对后者展开讨论，即通过一些例题，介绍数论性质在上下界估计中的一些应用以及相关的问题．

凸函数的性质与不等式证明

在下凸函数常规定义的基础上 ,研究了与不等式证明有关的下凸函数的性质 ;利用Jenven不等式证明了n取任意自然数时该性质的推广 ;

巧用函数的性质简解抽象函数不等式问题

抽象函数不等式问题一直备受命题者的关注．解决这类问题的关键是，如何巧妙地利用函数的性质，把抽象函数不等式中的函数符号“厂”全部“脱掉”，转化为具体的不等式（组）来求解，或画出符合题意的一个最简单的、最熟悉的函数f（x）的大致图象，或画模拟图象来求解．笔者以近两年高考试卷和竞赛试卷以及复习资料中出现的一类典型抽象函数不等式问题为例，认真分析和总结了解决这一类问题的几种基本的、重要的、常见的、常用的方法，以期能给读者朋友一些有益的启示．