三角形等角线的一个新性质及应用

如图1，自△ABC的顶点．4引2条射线AX，AY，分别交对边BC于点X，Y，并使AX，AY关于∠BAC的平分线AD对称，那么线段AX，AY就叫做AABC的等角线（因为从，AY与∠BAC的2边分别构成相等的角，故有这个名称）．文献[1]给出了三角形等角线的一些基本性质，本文将给出三角形等角线的一个新的基本性质．

三角形中等角线的性质及应用

(本讲适合高中)1知识介绍1.1等角线及其性质给定一个角∠AOB,OT是其角平分线,过点O作两条关于OT对称的直线OX和OY,则称OY是OX关于∠AOB的等角线.性质1如图1,自∠AOB的顶点O引两条直线OC、OD,P是直线OC上一点,过P作直线OA、OB的垂线,垂足分别为M、N,则OC、OD是∠AOB的两条等角线的充分必要条件是OD⊥MN.

等角线及应用(高一、高二、高三)

在一条曲线上求一点,使它对两定点的张角最大或最小,这类问题可用解析几何中的夹角公式求解,这时要讨论斜率是否存在,考察函数单调性或者用不等式.这里介绍一种作图求点的几何方法.在平面几何中由圆的知识可知:同弧所对的圆周角相等,

内等角线性质定理的简证

（内）等角线性质定理 在△ABC中，若AD1，AD2为∠BAC的等角线（点D1，D2在BC边上，且∠BAD1=∠CAD2），

等角线的性质

三角形角平分线可“分裂”成同角两边角度相等的线，就是等角线．对等角线，有如下定理M、N是△ABC内两点，使得∠MAB=∠NAC，∠MBA=∠NBC，则∠MCA=∠NCB(如图)。

三角形中等角线的性质

如图1，OD与OE是过角BOC顶点O的两条射线，若∠BOD=∠ODE，我们称OD，OE为∠BOC的一组等角线．

三角形的等角共轭点与等截共轭点的类比

本文利用对比的方法,运用点对直线的平行距离与垂直距离的关系,对三角形的等角共轭点与等截共轭点的相关性质做一些类比,以揭示它们的联系.

数学奥林匹克问题

本期问题初345如图1,已知G是△ABC的重心,M是边AC的中点,且AC=2 31/2GM,D是GA延长线上任一点,联结DM,并在DM上取点E,使得∠AED=∠CAG,作CF∥AB与直线BE交于点F,CD与MF交于点H证明:∠DHF=∠BAC.

塞瓦定理的等价定理及其应用

众所周知,塞瓦定理在证明三线共点问题时的功用可以与梅涅劳斯定理在证明三点共线问题时的功用媲美.本文介绍一个与塞瓦定理等价的定理,有时候用它来证明三线共点比用塞瓦定理更简捷、方便.定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)上的点,

一对孪生几何题的推广

白雪峰老师的这篇文章，是讲关于一类问题的推广的，非常好，值得向大家推荐．将一道题进行推广，是构造新题的常用方法，但要推广得好很不容易．将中线分裂为等截线，将角平分线分裂为等角线，关键问题是原题结论如何推广，需要一定的几何洞察力，也包括对原结论先进行变形．白老师的文章为大家提供了一个如何进行推广的好榜样．

圆幂定理图形中的优美性质

相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、PF ⊥ AC、PG ⊥BC、PH ⊥AD.

探究与三角形有关的直线上点的性质

探究一 如图1，在△ABC中，D是BC的中点，M在CD上，AD、AM为∠BAC的等角线，P是直线AM上一点（P不与A、M重合），BP、CP分别交直线AC、AB于点E、F，直线EF交BC的延长线于点N，则AN是△ABC的外接圆切线．

三角形中的特殊线的性质

性质1如图1，△ABC中，D是BC的中点，AD、AE是∠BAC的等角线，AF是△ABC的外接圆切线交BC的延长线于点F,则BE/CE=BF/CF。

一个命题引发的思考

命题 如图1，若△ABC的＜BAC的平分线交BC于D，交△ABC的外接圆于E．则有AB·AC=AD·AE． 这是一道基本习题，可添加辅助线通过三角形相似来证明（略）． 我们把AD、AE叫做△BC的等角线，此命题是两条等角线重合时的情形．本文不讨论等角线不重合时形成的各种精彩题目．

一道课外几何题的另证

《中学生数学》2018年5月下初三年级课外练习题第3题:如图1,设P,Q是线段BC上的两个点,且BP=CQ,A为BC外的一个动点,当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,判定△ABC的形状,并证明你的结论.参考答案给出的解法用到初中生并未学习过的三角形面积公式S△ABC=12 absin∠C,文[1]指出方法虽然简洁,但是不值得提倡,文[1]给出两种应用圆的方法判定△ABC为等腰三角形,也是利用后面所学的知识解决前面的问题,直线型问题用直线型的定理证明,初中生更容易接受,下面给出几种应用平行线割比例线段定理,相似三角形判定定理和三角形的面积定理的证明,供参考.