关于正规约数和函数的Graham问题

设n是大于 1且适合s(n) =[n/ 2 ]的正整数 ,其中s(n)是n的正规约数和函数 ;ω(n)是n的不同素因数的个数 ,p1,p2 ,… ,pω(n) 是n的适合p1<p2 <… <pω(n) 的素因素 .证明了 :如果 2｜n ,则必有n=2 ;如果n为奇数且ω(n)≤ 2 ,则必有n =3a,其中α是任意的正整数 ;如果n为奇数且ω(n) =3,则必有p1=3或者p1=5 ,p2 =7以及 11≤p3≤ 31;如果n为奇数且ω(n) =4 ,则必有p1=3或者p1=5 ,7≤p2 ≤ 13,11≤p3 ≤ 17以及 13≤p4≤ 2 3。

一类约数和函数的上界估计

对于正整数k,设σ(k)是k的不同约数之和.运用初等数论方法,利用等幂和的Bernoulli展开式,得到了关于σ(k)的和式sum σ(kr) from k=1 to n的上界的估计.

关于正规约数和函数的Graham问题

设n是大于 1且适合s(n) =[n/2 ]的正整数 ,其中s(n)是n的正规约数和函数 ;ω(n)是n的不同素因数的个数 ,p1,p2 ,… ,pω(n) 是n的适合p1<p2 <… <pω(n) 的素因数。本文证明了 :如果 2 |n ,则必有n =2 ;如果n为奇数且ω(n)≤ 2 ,则必有n =3α,其中α是任意的正整数 ;如果n为奇数且ω(n) =3,则必有p1=3或者p1=5,p2 =7以及 11≤p3≤ 31;如果n为奇数且ω(n) =4 ,则必有p1=3或者p1=5,7≤p2 ≤ 13,11≤p3≤ 17以及 13≤p4 ≤ 2 3,上述结果部分地解决了Graham猜想。

关于约数和函数的一个方程

对于正整数k,设σ(k)是k的约数和函数.本文运用初等数论方法证明了:方程σx(1+[y/x])+yσ(1+[x/y])=2.3[(x+y)/2]仅有正整数解(x,y)=(t,t),其中t是任意正整数.

约数积函数的唯一性

对于正整数a,设f(a)是a的不同约数的乘积,本文证明了:如果正整数x和y适合f(x)=f(y),则必有x=y.

与约数和函数σ(n)有关的一些不等式的解

约数和函数是一类基本而又重要的数论函数。本文推广了由Bencze提出的两个公开问题的结论,证明了对于任意给定的正整数k和非零整数b,均存在无穷多个正整数n,使得以下三个不等式同时成立:σ(n)-σ(n+b)>kn,σ(n)>kσ(n+1),σ(n)>kσ(n-1),其中δ(n)为任意正整数n的不同约数之和。

关于正规约数和函数的Graham问题

ｎ是大于１且适合ｓ（ｎ）＝［ｎ／２］的正整数，其中ｓ（ｎ）是ｎ的正规约数和函数；ω（ｎ）是ｎ的不同素因数的个数，Ｐ１、Ｐ２、…、Ｐω（ｎ）是ｎ的适合Ｐ１＜Ｐ２＜…＜Ｐω（ｎ）的素因数。本文证明了：如果２｜ｎ，则必有ｎ＝２；如果ｎ为奇数且ω（ｎ）≤２，则必有ｎ＝３ａ，其中ａ是任意的正整数；如果ｎ为奇数且ω（ｎ）＝３，则必有Ｐ１＝３或者Ｐ１＝５，Ｐ２＝７以及１１≤Ｐ３≤３１；如果ｎ为奇数且ω（ｎ）＝４，则必有Ｐ１＝３或者Ｐ１＝５，７≤Ｐ２≤１３，１１≤Ｐ３≤１７以及１３≤Ｐ４≤２３。

关于数论函数方程φ(φ(n))=2^(ω(n))的可解性问题研究

对任意的正整数n,函数φ(n)为著名的Euler函数,即在序列1,2,...,n-1,n中与n互质的整数的个数;函数ω(n)表示任意正整数n的所有不同质因数的个数。文章利用初等方法研究了φ(φ(n))=2ω(n)方程的可解性,并给出了该方程的全部正整数解。

一个关于广义完全数的数论函数方程

本文运用初等方法,讨论了一个含有约数函数、约数和函数与Euler函数的数论函数方程,给出了该方程的全部偶数解,并且解决了一个有关广义完全数的问题.

两个有关伪Smarandache函数的方程

对于正整数n,设Z(n)、f(n)、g(n)分别是n的伪Smarandache函数、约数和函数、除数函数.本文解决了方程Z(n)=f(n)和Z(n)=g(n)的求解问题.

一个数论函数方程

对于正整数a,设σ(a)是a的不同约数之和.本文证明了方程∑nk=1σ(k!)=(n(n+1)/2)!,仅有正整数解n=1.

关于数论函数σ(φ(n))的下界

对于正整数n,设σ(n)、(?)(n)分别是n的约数和函数和Euler函数.本文证明了:当n是幂数 时,必有σ((?)(n))>6n/π2.

关于数论函数δ(n)的一个问题

对于正整数n,设δ(n)是n的不同约数之和.本文证明了:存在无穷多个正整数n可使δ(n)>(δ(n-1)δ(n+1))^(1/2).

关于数论函数δ(n)的一个公开问题

对于正整数n,设δ(n)是n的不同约数之和.证明了:对于正整数k,都有无穷多个正整数n合适δ(n)>n+n1/2+n1/3+…+n1/k.

关于数论函数δ(n)的一个不等式

对于正整数n,设δ(n)是n的不同约数之和.证明了:存在无穷多个正整数n,可使δ(n)/n>(d(a0)+d(a1)+…+d(ak))/(k+1),其中ai(i=0,1,…,k)是n的十进制表示中的所有数位上的数字,d(ai)(i=0,1,…,k)是ai的除数函数.

一个复合数论函数的下界

对于正整数n,设σ(n),φ(n)分别是约数和函数和Euler函数.本文证明了:当n是幂数时,σ(φ(n) )>0.6n.

关于数论函数的一猜想

对于正整数,设,其中和分别是的Euler函数和约数和函数.文章证明了:极限.

关于数论函数δ(n)的一个方程

对于正整数n,设δ(n)是n的不同约数之和.该文证明了:方程δ(1)δ(n)+δ(2)δ(n-1)+…+δ(n)δ(1)=nδ(n)仅有正整数解n=1和2.

关于数论函数方程δ(x^2+y)+δ(x+y^2)=2ψ(x^3+y^3)

对于正整数k,设δ(k)和ψ(k)分别是k的约数和函数和Dedekind函数.该文证明了:方程仅有正整数解(x,y)=(1,1).

关于不定方程x^(d(n))+y^(ϕ(n))=z^(σ(n))

设n是正整数,证明了不定方程x^(d(n))+y^(ϕ(n))=z^(σ(n))在一定条件下无正整数解,这里d(n),ϕ(n)和σ(n)分别表示n的约数函数、欧拉函数及约数和函数。同时给出了n=3时,该方程的全部正整数解。