对于纳维-斯托克斯方程解的性质的一种猜想

美国马萨诸塞州的克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI)于2000年5月24日在法国巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事:解答出7个数学难题中的任何一个,将会得到悬赏一百万美元。其中之一就是流体力学中的纳维-斯托克斯方程解的存在性和光滑性问题。数学家和力学家深信,起伏的波浪跟随着正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着现代喷气式飞机的飞行,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。力学和整个科学的发展表明,纳维-斯托克斯方程的求解,的确够得上一个具有十分深刻的科学前景和广泛应用领域的顶尖难题。

新千年数学大奖问题——证明纳维-斯托克斯方程组光滑解的存在性

介绍克莱数学促进会悬赏的新千年百万美元数学大奖问题——证明纳维-斯托克斯方程组光滑解的存在性.

随机2-维纳维-斯托克斯-伯格斯方程的不变测度的存在性

在具有光滑边界的有界区域DR2上,讨论了不可压缩流体的随机2-维纳维-斯托克斯-伯格斯方程du=(Δu+12▽u2+(u·▽)u)dt+dW(t),其中W关于时间是白噪声的,关于空间变量是尽可能一般的高斯型时-空随机向量场;利用Krylov-Bogoliubov判别定理证明了上述方程的不变测度的存在性.

基于纳维-斯托克斯方程的图像修补模型的实现

图像修补是对图像损毁区域进行适当修补以满足人眼视觉要求的一种技术。Bertalmio等人证明了流体力学中的纳维-斯托克斯方程可以应用于图像修补,提出了基于纳维-斯托克斯方程的修补模型。本文对此模型的设计思想以及数值实现进行了详细的阐述,并分析了实验结果。

广义纳维-斯托克斯方程解的衰减性

利用半群算子e-t(-△)a和L2模的性质,讨论广义不可压纳维-斯托克斯方程解的衰减速率;通过不完全采用傅里叶分析的方法和|▽u(t)|L2的粗略估计,在H1(R3)空间中得到方程较好的衰减估计。

锥形微纳光纤激发相干反斯托克斯拉曼散射光谱研究

从数值仿真和实验测量方面验证了使用锥形微纳光纤代替聚焦物镜产生相干拉曼散射信号的可行性。通过数值计算以及实验测量分析了超短脉冲在锥形微纳光纤中的传输特性,证明锥区长度为5cm的锥形微纳光纤可以有效保证超短脉冲在其中传输时的时域和谱域特性,并且功率衰减较小,850~1100nm波长范围内的实测插入损耗最大值不超过1.05dB,平均值0.84dB。然后,使用锥形微纳光纤成功探测到环己烷在2853cm^(-1)位置处的拉曼共振峰,证明了使用锥形微纳光纤激发相干拉曼光谱的可行性。使用锥形微纳光纤激发相干拉曼光谱具有信号激发灵活方便,摆脱了传统空间光学的约束,为相干反斯托克斯拉曼散射(coherent anti-Stokes Raman scattering,CARS)系统在内窥成像领域和微创检测领域的发展提供了一种新的途径。

基于抽运-探测法的皮秒反斯托克斯拉曼频移器的理论研究

采用拉曼频移器在晶体介质中利用相干反斯托克斯散射效应可以获得超短脉冲(皮秒)反斯托克斯激光.基于抽运-探测法的晶体拉曼频移器可以实现相干反斯托克斯散射的共线相互作用,从而可以有效提高反斯托克斯光的转化效率.本文在平面波近似下建立了基于抽运-探测法的皮秒反斯托克斯拉曼频移器的耦合波方程组,引入归一化参量对方程组进行了归一化处理.通过数值计算,得到了描述皮秒反斯托克斯拉曼频移器运行的一组普适理论曲线,分析了归一化拉曼增益系数G、归一化相位失配参数△K以及探测光脉冲能量占基频光总能量的比值r_(probe)三个变量对反斯托克斯拉曼频移器性能的影响,确定了实现高效反斯托克斯转化时各归一化变量的合理取值.采用实验数据对该理论模型的正确性进行了验证,反斯托克斯转化效率的理论值与文献数据基本一致.

斯托克斯阻力公式的简单推导

斯托克斯阻力公式的传统推导有些复杂.本文根据线性齐次微分方程所满足的叠加原理提出了一个简单的推导.由于斯托克斯方程是一个二阶线性偏微分方程,根据球表面的两个速度分量条件,方程应该有两个线性独立的和完备的解,这两个解应该构成方程的基本解组,它们的线性组合应该就是方程的通解.使用拉普拉斯方程的解以及量纲分析,找到了这两个解.这两个解的线性组合就是斯托克斯问题的解.

玻尔兹曼方程的流体动力学极限和可压缩纳维-斯托克斯方程基本波的稳定性研究——中国科学院数学与系统科学研究院王益研究员

玻尔兹曼(Boltzmann)方程是统计力学中的基本方程,用来描述介观尺度下气体分子的运动过程.可压缩欧拉(Euler)方程和纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程是流体力学中的基本方程,分别描述无黏性和有黏性影响时宏观尺度下可压缩流体运动的力学规律.介观玻尔兹曼方程与宏观流体力学方程紧密相关,玻尔兹曼方程的一阶希尔伯特(Hilbert)展开正是可压缩欧拉方程,二阶查普曼-恩斯库格(Chapman-Enskog)展开是可压缩纳维-斯托克斯方程.

不可压纳维-斯托克斯方程的解析解(英文)

本文主要构造不可压纳维-斯托克斯方程的解析解.

纳维叶-斯托克斯方程中的正则理论讲义

本书是作者在牛滓大学数学研究所研究生授课中心2009—2011年的夏季学期授课讲义的基础上编写的，内容包含关于纳维叶斯托克斯（Navier．Stokes）数学理论的基础性引论，以及近代的正则理论。

使用基于物理信息的卷积神经网络求解Navier–Stokes方程的物理合理且守恒解

基于物理信息的神经网络方法(PINN)是一种使用神经网络有效求解偏微分方程(PDEs)的新兴方法。基于物理信息的卷积神经网络方法(PICNN)是一种由卷积神经网络(CNNs)增强的PINN的变体。由于卷积神经网络的参数共享特性可以有效地学习空间依赖关系,因此PICNN在一系列偏微分方程的求解问题上取得了更好的结果。然而,应用现有的基于PICNN的方法求解Navier–Stokes方程时会产生振荡的预测解,这违背了物理定律和守恒特性。为了解决这一问题,我们提出了一种将PICNN与有限体积法相结合的新方法,以获得Navier–Stokes方程的物理上合理且具有守恒特性的预测解。我们使用有限体积法推导了Navier–Stokes方程的二阶迎风差分格式。然后我们使用所推导的格式来计算偏导数并构造基于物理信息的损失函数。我们对以稳态Navier–Stokes方程作为控制方程的不同场景进行了实验以评估所提出的方法,包括对流传热问题和顶盖驱动流问题等。实验结果表明,我们的方法可以有效地提高PICNN预测解的物理合理性和准确性。

一种求解不可压N-S方程的非结构化网格方法

将Date压力修正算法推广到非结构化网格中来处理压力与速度的耦合,用具有二阶精度的迎风最小二乘格式离散对流项,用梯度投影法离散扩散项,得到了一种在非结构化网格上求解N-S方程的同位网格法.它充分利用了单元梯度,避免了利用顶点信息计算交叉扩散通量的麻烦,所有界面速度都采用线性插值,克服了Rhie＆Chow动量插值法的缺点.算例表明,该算法精度较高且健壮稳定,收敛特性也比较好.

求解RANS方程的高阶间断Galerkin方法研究

基于二维结构网格,对间断Galerkin方法(DGM)求解雷诺平均Navier-Stokes(RANS)方程进行了研究。根据混合有限元方法的思想,引入辅助变量,对粘性项中的高阶导数项进行降阶处理,再应用DGM对辅助变量方程和降阶后的RANS方程进行联立求解。对平板层流流动进行了数值模拟,结果表明,随着逼近多项式次数的增加,速度型和摩擦系数更加接近Blasius解。此外,还引入了Bald-win-Lomax湍流模型,对NACA0012翼型跨音速粘性流场进行了数值模拟,与实验结果进行了对比,进一步验证了算法的可靠性。

Stokes方程四节点有限单元的构造及其收敛性研究

本文针对Stokes方程构造了一类四边形四节点有限单元SQ1和SQ1’,从理论上和数值上进行了验证工作,确保这类单元的收敛性,避免了四边形等参元出现压力棋盘格式,这对于建立低参数Stokes有限元模型是十分有意义的。

N-S方程基于投影法的特征线算子分裂有限元求解

提出了一种求解非定常不可压缩纳维--斯托克斯方程(N--S方程)的新型有限元法:基于投影法的特征线算子分裂有限元法.在每一个时间层上将N--S方程分裂成扩散项、对流项、压力修正项.对流项采用多步显式格式,且在每一个对流子时间步内采用更加精确的显式特征线--伽辽金法进行时间离散,空间离散采用标准伽辽金法.应用此算法对平面泊肃叶流、方腔流和圆柱绕流进行数值模拟,所得结果与基准解符合良好.尤其对于Re=10 000的方腔流,给出了方腔中分离涡发展和运动的计算结果,并发现在该雷诺数下存在周期解,表明该算法能较好地模拟流体流动中的小尺度物理量以及流场中分离涡的运动.

紧聚焦条件下相干反斯托克斯拉曼散射信号场的矢量分析

在相干反斯托克斯拉曼散射(coherent anti-Stokes Raman scattering,CARS)显微镜中,共线传输的紧聚焦高斯光束激发具有不同形状和尺寸的待测样品所产生的CARS信号场的空间分布决定了整体系统的结构特点.建立了紧聚焦条件下球形样品产生CARS信号场的理论模型.利用矢量波动方程分析了紧聚焦条件下线偏振的高斯光束的光场强度和相位分布.利用格林函数求解该模型中CARS信号场的矢量波动方程,模拟计算得到了不同直径球形样品的远场CARS信号场的空间分布.理论分析和模拟计算结果表明,对于小体积的球形样品,前向和背向传输的CARS信号场强度接近,因此采用大数值孔径物镜背向探测方式即可获得高对比度图像.对于大体积球形样品,CARS信号场的强度大幅增强,且发射方向主要集中在前向的一定立体角内.因此,采用小数值孔径物镜即可有效收集前向传输的CARS信号.

解Stokes方程的Q_1^+—P_1元的误差估计

文[1]的数值试验表明,Q_1^+—P_1元比其它元更适合于计算高雷诺数问题,是一个非常有应用价值的元。但此元不满足LBB条件,利用一般的误差分析得不到此元数值解的收敛性质。本文利用文[2]的思想,证明了当解较光滑时,能达到最优阶收敛。

Stokes方程的全离散有限元方法

本文提出了非定常不可压Stokes方程的空间变量用有限元离散、时间变量用差分离散的方法(全离散有限元方法),并给出了离散时间有限元的最优L^2、H^1和积分的误差估计。