对于纳维-斯托克斯方程解的性质的一种猜想

美国马萨诸塞州的克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI)于2000年5月24日在法国巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事:解答出7个数学难题中的任何一个,将会得到悬赏一百万美元。其中之一就是流体力学中的纳维-斯托克斯方程解的存在性和光滑性问题。数学家和力学家深信,起伏的波浪跟随着正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着现代喷气式飞机的飞行,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。力学和整个科学的发展表明,纳维-斯托克斯方程的求解,的确够得上一个具有十分深刻的科学前景和广泛应用领域的顶尖难题。

使用基于物理信息的卷积神经网络求解Navier–Stokes方程的物理合理且守恒解

基于物理信息的神经网络方法(PINN)是一种使用神经网络有效求解偏微分方程(PDEs)的新兴方法。基于物理信息的卷积神经网络方法(PICNN)是一种由卷积神经网络(CNNs)增强的PINN的变体。由于卷积神经网络的参数共享特性可以有效地学习空间依赖关系,因此PICNN在一系列偏微分方程的求解问题上取得了更好的结果。然而,应用现有的基于PICNN的方法求解Navier–Stokes方程时会产生振荡的预测解,这违背了物理定律和守恒特性。为了解决这一问题,我们提出了一种将PICNN与有限体积法相结合的新方法,以获得Navier–Stokes方程的物理上合理且具有守恒特性的预测解。我们使用有限体积法推导了Navier–Stokes方程的二阶迎风差分格式。然后我们使用所推导的格式来计算偏导数并构造基于物理信息的损失函数。我们对以稳态Navier–Stokes方程作为控制方程的不同场景进行了实验以评估所提出的方法,包括对流传热问题和顶盖驱动流问题等。实验结果表明,我们的方法可以有效地提高PICNN预测解的物理合理性和准确性。

新千年数学大奖问题——证明纳维-斯托克斯方程组光滑解的存在性

介绍克莱数学促进会悬赏的新千年百万美元数学大奖问题——证明纳维-斯托克斯方程组光滑解的存在性.

随机2-维纳维-斯托克斯-伯格斯方程的不变测度的存在性

在具有光滑边界的有界区域DR2上,讨论了不可压缩流体的随机2-维纳维-斯托克斯-伯格斯方程du=(Δu+12▽u2+(u·▽)u)dt+dW(t),其中W关于时间是白噪声的,关于空间变量是尽可能一般的高斯型时-空随机向量场;利用Krylov-Bogoliubov判别定理证明了上述方程的不变测度的存在性.

基于纳维-斯托克斯方程的图像修补模型的实现

图像修补是对图像损毁区域进行适当修补以满足人眼视觉要求的一种技术。Bertalmio等人证明了流体力学中的纳维-斯托克斯方程可以应用于图像修补,提出了基于纳维-斯托克斯方程的修补模型。本文对此模型的设计思想以及数值实现进行了详细的阐述,并分析了实验结果。

广义纳维-斯托克斯方程解的衰减性

利用半群算子e-t(-△)a和L2模的性质,讨论广义不可压纳维-斯托克斯方程解的衰减速率;通过不完全采用傅里叶分析的方法和|▽u(t)|L2的粗略估计,在H1(R3)空间中得到方程较好的衰减估计。

双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程的整体解和衰减

本文采用高阶能量方法和连续性方法,证明双极不可压缩纳维–斯托克–傅里叶–泊松方程整体解的存在性和指数衰减性。

弯曲微管内的细胞运动规律分析

目的细胞在弯管内的运动变形作为一种基础力学过程,与微血管内的血流动力学及微流控芯片的流动控制密切相关。通过研究细胞在弯管内的运动迁移机理和相关流场,能够促进理解相关流动机制。方法采用数值计算方法研究单个球形细胞在弯曲管道内的运动。细胞膜视为忽略厚度的超弹性薄膜,满足Skalak能量函数,细胞质为与血浆黏度相同的均质不可压缩牛顿流体。在柱坐标系中求解了三维纳维斯托克斯方程,并采用浸入边界法耦合流场与细胞膜。结果探究了雷诺数(Re),毛细血管数(Ca,表示细胞相对变形能力)和细胞初始位置对细胞迁移的影响。结果表明,初始释放位置对细胞最终的稳定运动形式(平衡或周期运动)无影响。对于Ca≥1的细胞,在不同雷诺数下(5≤Re≤100),细胞最终均平衡在迪恩涡中心附近;对于Ca≤0.1的细胞,在Re≤10时,细胞的平衡位置偏离了对称平面,并靠近管道弯曲中心,在Re≥100时,细胞不具有平衡位置,而是随着迪恩涡作周期性的旋转。结论细胞初始位置不影响细胞最后的运动状态;对于变形能力较强的细胞,不同雷诺数下,细胞均平衡在迪恩涡中心附近;对于变形能力较弱的细胞,随迪恩数的增加,细胞最终由平衡在靠近弯曲中心的位置转变为了随迪恩涡周期性运动。

一种求解不可压N-S方程的非结构化网格方法

将Date压力修正算法推广到非结构化网格中来处理压力与速度的耦合,用具有二阶精度的迎风最小二乘格式离散对流项,用梯度投影法离散扩散项,得到了一种在非结构化网格上求解N-S方程的同位网格法.它充分利用了单元梯度,避免了利用顶点信息计算交叉扩散通量的麻烦,所有界面速度都采用线性插值,克服了Rhie＆Chow动量插值法的缺点.算例表明,该算法精度较高且健壮稳定,收敛特性也比较好.

求解RANS方程的高阶间断Galerkin方法研究

基于二维结构网格,对间断Galerkin方法(DGM)求解雷诺平均Navier-Stokes(RANS)方程进行了研究。根据混合有限元方法的思想,引入辅助变量,对粘性项中的高阶导数项进行降阶处理,再应用DGM对辅助变量方程和降阶后的RANS方程进行联立求解。对平板层流流动进行了数值模拟,结果表明,随着逼近多项式次数的增加,速度型和摩擦系数更加接近Blasius解。此外,还引入了Bald-win-Lomax湍流模型,对NACA0012翼型跨音速粘性流场进行了数值模拟,与实验结果进行了对比,进一步验证了算法的可靠性。

N-S方程基于投影法的特征线算子分裂有限元求解

提出了一种求解非定常不可压缩纳维--斯托克斯方程(N--S方程)的新型有限元法:基于投影法的特征线算子分裂有限元法.在每一个时间层上将N--S方程分裂成扩散项、对流项、压力修正项.对流项采用多步显式格式,且在每一个对流子时间步内采用更加精确的显式特征线--伽辽金法进行时间离散,空间离散采用标准伽辽金法.应用此算法对平面泊肃叶流、方腔流和圆柱绕流进行数值模拟,所得结果与基准解符合良好.尤其对于Re=10 000的方腔流,给出了方腔中分离涡发展和运动的计算结果,并发现在该雷诺数下存在周期解,表明该算法能较好地模拟流体流动中的小尺度物理量以及流场中分离涡的运动.

基于数据驱动的流场控制方程的稀疏识别

利用有限数据建立系统的非线性动力学模型是具有挑战性的重要课题.数据驱动的稀疏识别方法是近年来发展的从数据识别动力系统控制方程的有效方法.本文基于数据驱动稀疏识别方法对不同流场的控制方程进行了识别.采用非线性动力学偏微分方程函数识别(partial differential equations functional identification of nonlinear dynamics, PDE-FIND)方法和最小绝对收缩和选择算子(least absolute shrinkage and selection operator,LASSO)方法对二维圆柱绕流、顶盖驱动方腔流、Rayleigh-Bénard (RB)对流和三维槽道湍流的控制方程进行了识别.在稀疏识别过程中,采用直接数值模拟得到的流场数据来计算过完备候选库中的每一项,候选库中变量最高保留到二次,变量导数最高保留到二阶,非线性项最高保留到四阶.结果发现PDE-FIND方法和LASSO方法对于不含有非线性项的控制方程,如涡量输运方程、热输运方程和连续性方程,都能准确识别.对于含有强非线性项的控制方程,如Navier-Stokes方程的识别, PDE-FIND方法正确地识别出了控制方程及流场的Rayleigh数和Reynolds数,而LASSO方法识别结果不正确,这是因为候选库中的项之间存在分组效应, LASSO方法通常只取分组中的一项.本文还发现选择流动结构丰富的区域的数据进行控制方程的稀疏识别可以提高识别的准确性.

旋转坐标系N-S方程无网格/网格混合算法

为了模拟涡桨发动机等绕固定轴旋转的桨叶流场,发展了一种求解旋转体非定常黏性绕流的无网格/网格混合算法。算法基于求解旋转坐标系纳维尔-斯托克斯方程展开,避免了旋转角速度特征物理量的插值运算;计算域采用整体网格和物面附近局部无网格离散,通过引入无网格和网格对偶点,实现了混合算法绕流信息的跨区交换,并给出了一种对偶点调整选取的方法;基于无网格点云空间导数逼近方法离散控制方程,并结合隐式LU-SGS算法,给出了混合算法求解非定常问题的双时间步隐式推进格式。结果表明:所提算法通过2维振荡翼型非定常绕流、旋转圆柱黏性绕流和模拟发动机桨叶旋转运动的3维悬停旋翼绕流进行了考核,所得升力系数等重要气动数据的变化趋势与文献试验或计算值一致,典型截面处所示的激波强度和位置亦与文献值吻合,展现出算法在模拟旋转部件绕流问题方面具有广阔的工程应用前景。

带有库仑力可压缩磁流体方程组的衰减估计

在假设密度有上界的情况下,对带有库仑力的多维可压缩等熵磁流体方程组构造出了一个李亚谱诺夫能量函数,并证明弱解在L2范数下指数趋于平衡态.

利用自由面RANS方程进行船舶阻力预报

应用各种网格划分计算了不同流动情况的阻力，比较了各种因素对阻力预报精度的影响，并提出了使计算收敛的最佳方法。

贝宁海滩上波浪传播演变特性研究

为分析贝宁海滩上波浪传播演变特性,基于开源波浪数值计算软件COBRAS建立了贝宁典型海滩剖面数值模型,模型中采用k-epsilon紊流模型求解雷诺应力,采用流体体积法捕捉自由液面,并采用斜坡上波浪破碎试验结果对数值模型进行了验证。基于该模型对常浪条件和极端波浪条件下海滩上波浪传播规律的模拟结果表明:常浪条件下波浪主要在沙坝附近发生破碎,极端波浪条件下波浪在沙坝外侧200 m处开始发生破碎;破碎区域内水质点速度较大,常浪条件下沙坝周围的流速可达7.5 m/s,极端波浪条件下破波带内水质点速度可达12.4 m/s,且波浪回流与入射波浪在沙坝周围相互作用会形成较强的涡旋;随着波浪非线性的增强,波浪爬高也逐渐增大,在极端波浪条件下,沙丘上会发生越浪。

切向流作用下直通穿孔管阻性消声器传递损失预测

使用考虑涡黏系数的频域线性纳维斯托克斯方程(linearized Navier-Stokes equations, LNSEs)计算切向流作用下直通穿孔管阻性消声器的传递损失,计算步骤为:运用CFD(computational fluid dynamics)方法求解计算域内的时间平均流动变量,然后将变量映射至声学网格;将声传播介质分为空气和吸声材料,后者等效为具有复声速和复密度的流体,使用频域LNSEs计算声场,最后利用平面波分解法计算消声器的传递损失。计算结果与试验测量结果吻合良好,从而证明了计算方法的正确性。通过数值计算分析了切向流马赫数对不同流阻率和穿孔结构阻性消声器传递损失的影响规律。随着切向流马赫数的增加,消声器在低频域的传递损失有所降低,中高频消声性能变化无明显规律可循;切向流对低穿孔率消声器传递损失的影响大于高穿孔率。

工程抗震方法的统一性研究—反问题、最优控制和最优化

提出各种工程抗震方法在数学模型上统一为纳维方程的五类反问题,即源项控制反问题、参数控制反问题、区域控制反问题、边界条件控制反问题和初始条件控制反问题;同时,阐述了求解这五类反问题的两种方法:其一,将纳维方程转化为状态形式的波动方程,将反问题转化为最优控制问题进行求解,给出了能量形式的性能指标;其二,采用有限元离散方法将纳维方程转化为振动方程,将反问题转化为最优化问题进行求解,建立优化数学模型。最后以区域控制反问题为例,对拱坝结构的抗震设计进行了计算分析,得到了具有最佳抗震性能的体型形式。

基于物理的流体动画加速技术的研究进展

基于物理的流体动画技术一直是计算机图形学领域里最为活跃的研究方向之一,且其最近几年的发展非常迅猛.然而由于该技术需要求解复杂的非线性运动方程,而实时性又是计算机图形应用的一个重要需求,因此如何提升其计算效率始终是个挑战性问题.文中对目前基于物理的流体动画技术在加速技术方面的研究进展进行了详细地分析和总结,针对计算过程的每一个步骤分别进行了剖析,从流场元素的高效表达、紧凑的计算网格、高效计算方法、硬件并行处理等方面做了详细展开,并由此给出一些启示性思路,如混合表达的方法等,以实现实时的流体动画效果.