微话题研讨:寻找素材,追求和谐——以“平行线分线段成比例的基本事实”的探究为例

义务教育数学课程标准（2011年版）要求“掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．”在近期的课题组活动中，围绕这一基本事实的教学，我们进行了专题研讨，在研讨的基础上安排了研究课，收获非常多．在此笔者分享部分专题研讨内容、教学片断和几点反思，以期得到更多同行的指导．

平行线分线段成比例定理的应用6例

平行是初中平面几何中最基本的位置关系,当一组平行线截两条直线时就得到比例线段,平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论.平行线分线段成比例定理在平面几何中有着广泛的、灵活的应用.在应用时,要注意以下两点:一方面,需要熟悉并善于从复杂的图形中"发现"基本图形(常用的是"A"型图或"X"型图);另一方面,需要根据题设条件作平行线,"构造"基本图形.

“平行线分线段成比例定理”证法探析

对比平行线分线段成比例定理的面积证法与历年人教版教材对这一定理的证法，二者本质相同，都要回归到用有理数逼近无理数，其严格证明需要应用高等数学的知识．在教学中，教师应按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，将其作为基本事实处理，并重视其在得出三角形相似的判定定理中的作用．

“平行线分线段成比例定理”的初等证法

初中《几何》第二册第208页用举例的方法给出了“平行线分线段成比例定理”,但没有给出证明.因为证明涉及无理数理论、极限思想等,学生尚不能接受(引自初中《几何》第二册教师教学用书第232页).课本的安排既利用了前一节“平行线等分线段定理”,叉渗透了高等数学思想,不失是一个巧安排,然而,用初等方法能否对此定理进行证明,现分别介绍初二学生及高一学生能接受的两种证法.

让学生体会“基本事实”的合理性——以“平行线分线段成比例”基本事实的探究为例

《数学课程标准(2011年版)》中的“基本事实”是不需要证明的公理,平行线分线段成比例是其中的第九个基本事实,人教版初中教材把这一基本事实作为证明相似三角形判定定理的逻辑起点,因此,这一结论具有重要意义。课标对此的要求是“掌握”,主要指的是能运用其推论的结论证明相似三角形的判定定理。基本事实不需要证明,但需要让学生体会其合理性。

平行线分线段成比例定理习题课初探

“平行线分线段成比例定理的习题课”，选自人教版九年义务教育四年制教材《几何》第二册第五章第二小节，对于如何上好这节课，笔者做了下面几点探索。 一、教材分析准确，全面了解学生 这节习题课是在学生掌握了三角形中位线、平行四边形、比例线段和平行线分线段成比例定理及推论等知识的基础上进行的，习题的处理既综合了以上知识，又为下面研究三角形的相似起了很好的过渡作用。

新教材“平行线分线段成比例定理”教法探讨

九年义务教育教材对“平行线分线段成比例定理”的引出做了较大修改,人民教育出版社出版的教师教学用书对这节的教学做了明确要求,指出:“平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论……要求学生能在理解的基础上掌握和运用它.”这个定理“是用举例的方法引出的,没有给出证明.因为证明涉及无理数理论、极限思想等,学生尚不能接受.通过举例说明,学生能够承认这个定理就可以了,重要的是要求学生正确地使用它.”虽说新教材降低了难度,明确了要求,但是教师怎样用好新教材,仍须深入钻研教材,领会大纲精神.因为对这个定理主要是正确使用,所以,我认为教师必须在学生精力旺盛、吸收率较高的前30分钟。

用代换法证明共线的线段成比例

同学们证明不共线的线段成比例较熟悉，但证明共线(几条线段在同一条直线上)的线段成比例时，常无从下手．究其原因，是不知如何将其转化为不共线的线段成比例来处理．本文举例说明利用代换将共线线段成比例问题转化为不共线线段成比例问题的策略，供同学们参考．

证明共线线段成比例的三条有效途径

在平面几何中，证明线段成比例是我们常见的命题之一，而其中证明共线线段成比例又是证明线段成比例的特例，它给学生证明这类命题增加了难度．为了让学生掌握这类命题的证明思路与方法．本文旨在从不同角度、不同方位给出七条有效途径，望对学生学习有所帮助和启迪．

同一直线上线段成比例的特殊证法

在平面几何中，证明线段成比例是我们常见的命题之一，由于证题的思路和应用知识的不同，其证法也各不相同。然而对于要证明的几条线段如果在同一条直线上，有没有奇方妙法呢？为了解决这个问题，本文旨在能过具体实例提供几种有效的特殊方法，供同学们学习之用。

同一直线上线段成比例的特殊证法

一、利用两圆的公共割线证 例1如图1，已知：⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，

在“相似形”中证明线段成比例(初二、初三)

在相似形一章中，有大量的题目是证明线段成比例，解决这类问题，可以用下面几种方法：

一个教学难点的解决——关于平行线分线段成比例定理的一种新颖证法

初二几何(人教版)第211页'平行线分线段成比例定理'是以'平行线等分线段'为思路证出的材先将比值定为2/3,然后作平行线进行等分,验证完后就得到了定理,并没有给出严格的证明.当然对于比值为有理数时,是可以进行有限次等分的,但对于比值为无理数时就不便等分了.对于这个难点,我们经过探讨,找到了一种新颖的证法.该证法利用学生已学过的知识,很好地解决了这个难点.

巧用平行线证明线段成比例

平行线是相似三角形中最活跃的“元素”，而平行线分线段成比例定理及其推论是证明线段成比例的重要依据．充分利用平行线，或巧作平行线，可将比例问题转化为平行线分线段成比例的基本图形．

利用三角形相似证明线段成比例或相等的若干方法

高中数学选修4－1《几何证明选讲》是新课标的新增内容，在高考题中作为三选一的选作题目考查内容之一．其中圆与三角形综合问题是高考平面几何选讲的重要内容，也是高考考查的热点．在这部分内容中，利用三角形相似证明线段成比例或线段相等是学生首先要掌握的证明题型．学生初中已经学习过三角形相似的判定和性质，但却不能灵活地应用其证明线段成比例或相等问题．下面举例介绍几种常用的技巧方法．

圆锥曲线中关于线段成比例问题的探究

笔者在对高考试题研究中发现,线段成比例问题以其变化方式的多样性成为圆锥曲线解答题命题热点之一,也是学生容易感到困惑的一类问题.本文将以高考题为例,对此类问题进行探究,以达到优化解题的目的.

平行线分线段成比例定理的三类应用

平行线分线段成比例定理是三角形相似问题的进一步拓展,也为证明三角形内角平分线定理提供了依据,在考查中也常常独立作为考题出现.下面我们就结合实例,来看一看平行线分线段成比例定理的三类典型应用问题.1长度求解问题例1如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD,AC相交于O,过O的直线分别交AB,CD于E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,试求EF的长度.

例谈平行线分线段成比例定理的应用

学生在运用平行线分线段成比例定理时,常常会出现列错比例式的情形,原因在于对定理和推论的本质理解不清.要做到正确运用,关键在于借助图形和符号语言理解本质,正确识别图形中的对应线段,并借助口诀准确列出比例式.