二次系统(Ⅲ)_(n=0)一阶细焦点外围极限环的惟一性

本文证明二次系统 ( ) n=0 方程当其细焦点的一阶细焦点量 (w1 )和三阶细焦点量 (w3)的符号异号时 ,该细焦点外围至多有一个极限环 ;当 w1 与 w3符号相同时 ,该细焦点外围可以出现二个极限环 ,并举出了例子 .

具有一细焦点和一粗焦点的二次系统

研究具有一细焦点和一粗焦点的二次系统，得到了三个新的极限环唯一性判别法．

具有二阶细焦点的二次系统的定性研究

讨论了二次系统（Ⅱ）δ＝０具有二阶细焦点的条件，并对ｎ＝０时以原点Ｏ（０，０）为二阶细焦点的二次系统（Ⅱ）δ＝０作了全局分析。

一类具一阶细焦点的二次系统

研究二次系统 在其一阶细焦点Ｏ（０，０）附近极限环的不存在性．

关于“具有一细焦点和一粗焦点的二次系统”一文的注记

证明文 [1 ]中 3个定理的条件是空的 。

平面Liéard系统细焦点的判定

用形式级数判别法给出了平面Ｌｉｎéｒｄ系统（１）细焦点的判定条件，较完整地解决了文［２．３］中给出的焦点稳定性的判定条件与细焦点的阶数之间的关系。

具有二阶细焦点和零特征根奇点的二次系统

对于一般的系统(4),有下述引理1和引理2,其证明分别见脚注所引的参考文献。 引理1 若曲线F(x_2)=F(x_1)与曲线G(x_2)=G(x_1)在区域D{(x_1,x_2)|X_(02)<x<0,0<x_1<x_(01)}内无交点,则方程(4)在带域x_(02)<x<x_(01)内不存在极限环。 推论 设F(x)分别在区间x_(02)<x<0和0<x<x_(01)内严格单调。

一类两种群均有收获率捕食系统的细焦点与极限环

研究一类具有HollingⅡ类功能反应且两种群均为非常数收获率的捕食系统,其中食饵种群具有非线性密度制约.利用微分方程定性与稳定性理论及分支理论,得到系统平衡点的性态及极限环存在与否的充分条件,利用Hopf分支理论得到存到多个极限环的充分条件.

一类具细焦点的三次系统极限环的唯一性

继续相关文献的工作,给出与二次系统Ⅰ相伴的一类三次系统在奇点N(0,1/n)的焦点量公式,证明了系统在细焦点N外围至多有一个极限环,同时证明了当N或O为细焦点时,系统在另一个焦点外围无极限环,结合相关文献的结论,说明了具有细焦点的该系统在全平面至多有一个极限环.

二次系统二阶三阶细焦点外围极限环不存性的研究

具有二阶三阶细焦点的二次系统可化为 (1)其中,m(l+n)=a(b+2l),w_3=ma^2[2a^2+n(l+2n)][(l+n)~2(n+b)-a^2(b+2l+n)]≠0。由文献[2-4]我们仅需考虑n≠0情形,不失一般性,可设n-1,a>0。故我们可把方程(1)_(?)记为(1)_(1,0)。

一类具有n^2/2(n为偶数)或n^2+1/2(n为奇数)个细焦点的(E_n)系统

通过对一类特殊的平面n次多项式微分系统进行参数小扰动,得到了一类具有(n^2)/2(n为偶数)或(n^2+1)/2(n为奇数)个2阶细焦点的(E_n)系统.进一步证明了该系统具有(n^2)/2(n为偶数)或(n^2+1)/2(n为奇数)族极限环,得到了S(n)≥(n^2)/2(n为偶数)或S(n)(n^2+1)/2(n为奇数),改进了已有文献的结果.

具有细焦点的Liénard系统的极限环

讨论具有细焦点的Li啨ｎａｒｄ系统的极限环个数问题 。

一类具有二阶细焦点的二次系统

本文证明了一类具有二阶细焦点的二次系统（在其二阶细焦点外围）至多存在一个极限环．

具有二阶细焦点的二次系统极限环的唯一性

人们猜想,平面二次系统二阶细焦点外围至多存在一个极限环,但迄今未能证实.文[1,2]在某些参数取特定值之下证明了这一猜想.最近文[5]在具有零特征根奇点之下也证明了这一猜想.本文则在较一般的情况下证明了这一猜想,并使文[5]的结果成为本文的特例.此外,本文还给出了若干有环无环的条件.

一类具有n^2—n阶细焦点的平面n(偶数)次系统

对于右端为n次多项式的二阶微分自治系统,实域中的细焦点、细鞍点以及复域中的细临界型奇点其最高精细度M(n)?为多少,在文献[1]中就n=3提出了上述问题,并证明了M(3)≥7。文献[2]中则给出了E_3由中心点分枝出7个极限环的实例。对M(n)的估计显然与Hilbert第16问题密切相关,但对n≥4的情况几乎还没有结果。本文对任一偶数n,

一类三次系统的中心焦点判定与极限环的唯一性

目的研究一类三次系统的中心焦点判定和极限环的存在唯一性。方法采用Lienard方程的方法计算焦点量,用数形结合和定性与定量结合的分析方法证明极限环的唯一性。结果推广了部分参考文献所研究的方程类型和已有的结论。结论表明该三次系统.x=-y+δx+lx2+mxy+ny2,.y=x(1+ay-y2)可以存在2个极限环,该系统在细焦点外围至多有一个极限环。

平面定性理论中的中心焦点判别

一 中心焦点判别的意义在微分方程平面系统的定性理论和分支理论中,中心焦点判别问题是一个极为重要的研究课题.正如文[4]中指出:Arnold问题的彻底解决依赖于中心焦点判别,同样,由于焦点量的阶数决定了通过微小扰动在奇点邻域内产生极限环的个数,而全面极限环的个数首先取决于各奇点邻域内极限环的个数,因而Hillbert第16问题的第一关就是焦点量阶数的确定,即中心焦点判别.正因为如此,自本世纪初Dulac对这类问题开始研究以来,数学家们就一直进行着不懈地努力,并且对于某些特殊系统(如平面二次系统、缺二次项的三次系统等)取得了一些进展,但是要彻底解决此类问题,仍需在理论上作进一步深刻的探讨,需要一个相当长的时期.本文通过介绍中心焦点判别的若干进展的同时,对此类研究的两个关键问题;

二次系统中细鞍点的一般变换

本文研究二次系统中将细鞍点化为细焦点的一般变换，具有文［１］相同的结论，并包含文［１］的结论为其特例。

m次系统的焦点量

对一般m次系统 (1)给出了焦点量的一种计算方法。

中心-焦点型全三次系统参数化简与新矩阵法

为简化中心-焦点型微分方程系统细焦点的计算,定义两种新的矩阵运算方法,采用可逆实对称矩阵变换,将中心-焦点型全三次系统化简到最多含有13个参数的系统,且缺少的项至少在齐二次项中发生.为进一步计算系统焦点量做准备.