一个群论定理的推广

对群论定理"设a,b为群(G,.)之二元.如1)a.b=b.a,2)(o(a),o(b))=1,则o(a.b)=o(a)×o(b)″进行推广.首先,仅变更2)为2′)(o(a),o(b))=d,得到定理1:设a,b为群(G,.)之二元,如1)a.b=b.a.2′)(o(a),o(b))=d,则o(a.b)=o(da)×o(db)×q,q∈且1≤q≤d;其次,不仅变更2)为2″)(o(ai),a(aj))=1,i≠j,i,j=1,2,…,n,且变更1)为1′)ai.aj=aj.ai,i≠j,i,j=1,2,…,n,得到定理2:设a1,a2,…,an为群(G,.)之n(≥2)元,如1′)ai.aj=aj.ai,i≠j,i,j=1,2,…,n,2″)(o(ai),o(aj))=1,i≠j,i,j=1,2,…,n,则o(a1.a2.….an)=o(a1)×o(a2)×…×o(an);再其次,保留1′)而弱化2″)为2)2≤k∈,(o(ai),o(ak))=1,i=1,2,…,k-1,得到定理3:设a1,a2…,ak为群(G,.)之k(≥2)元.如1′)ai.aj=aj.ai,i≠j,i,j=1,2,…,k,2)2≤k∈,(o(ai),o(ak))=1,i=1,2,…,k-1,则2≤k∈,o(a1.a2.….ak)=o(a1)×o(a2)×…×o(ak);最后,继续保留1′)而变更2)为2″″)2≤k∈,(o(ai),o(ak))=d,i=1,2,…,k-1,得到定理4:设a1,a2,…,ak为群(G,.)之k(≥2)元.如1′)ai.aj=aj.ai,i≠j,i,j=1,2,…,k,2″″)2≤k∈,(o(ai),o(ak)=d,i=1,2,…,k-1,则2≤k∈,o(a1.a2.….ak)=o(ad1)×o(da2)×…×o(dak)×q,q∈且o<q≤d.