两种由群的元素性质所确定的群的根性

讨论群的元素性质与群的根性之间的关系.考虑群的元素性质P满足条件(1):如果x是G的P-元素,且N G,那么xN是G/N的P-元素;满足条件(4):设N⊿G,如果x∈N是G的P-元素,那么x也是N的P-元素,则群类P1={G|G的每个同态像没有非平凡的P-元素}是P1-根群类.如果P满足条件(1)和条件(2),x∈N是N的P-元素,且N⊿G,那么x也是G的P-元素,则群类P2={G|G的每个非平凡的同态像有一个非平凡的次正规P-子群}是P2-根群类.如果性质P满足条件(1),(2)和(4),那么P,P2均为根群类且P=P2.

由群的元素性质确定的群的根性

P为群的根性,如果群的元素具有的性质P满足(a)如果x是G的P-元素,且N⊿G,那么xN是G/N的P-元素;(b)如果x∈N是N的P-元素,且N⊿G,那么x也是G的P-元素;(c)如果xN是G/N的P-元素,且N是G的正规P-子群,那么x是G的P-元素.通过群的元素具有的性质P来研究群的根性.证明了由群的元素具有的的性质P可以得到群的根性P,反之,给定由群论性质确定的群的根性R,那么存在元素的一种性质,满足(a),(b),(c),并且R-根群类R=P,其中P是P-群组成的类.还利用群的元素具有的性质所确定的群的根性研究了群的继承根性.