基于群表示论的微波等离激元谐振器模式响应研究

作为光频段局域表面等离激元的低频对应物,人工局域表面等离激元因其深亚波长局域场增强和高Q值谐振的特点而受到广泛关注。微波等离激元谐振器是产生人工局域表面等离激元的典型器件,其特点是具有多重离散旋转对称性和镜面反射对称性。以往的研究提出了等效媒质法和等效色散法分析微波等离激元谐振器的模式响应,但这两种方法都未能充分考虑谐振器的几何对称性从而未能全面揭示其模式特性。本文针对谐振器的几何对称性提出了群表示论方法分析其模式响应。通过对称性分析,发现谐振器的几何对称性所构成的群的不可约表示数等于谐振器所能支持的人工局域表面等离激元模式的数目。以对称性构成C7v群的谐振器为例,C7v群的5个不可约表示数对应了5种人工局域表面等离激元模式,分别为零阶模式(也即磁偶极子)、偶极子、四极子、六极子和十四极子。受限于几何对称性,谐振器将不能支持更多阶的模式。为验证群表示论方法,设计了对称性构成C7v群的微波等离激元谐振器,全波仿真结果很好地证明了上述理论。本文提出的群表示论方法也可推广到其他频段如光频,因而具有广泛的适用性。

有限群表示论的历史溯源

有限群表示论是有限群论中最为核心和本质的内容,也是研究有限群结构的最强有力的工具之一。文章探寻有限群表示论诞生的原因,深入分析其思想起源和创立过程,进而展现有限群表示论的历史脉络和思路历程。同时,本文为代数学史的研究提供了一个新视角,通过有限群表示论的历史进程来纵观代数学的发展历史。

线变换刚体运动矩阵的群表示方法

研究刚体有限和瞬时运动线变换矩阵的群表示方法。利用刚体运动微分方程导出线变换瞬时运动与有限运动的指数积映射显式表达。借助群表示论研究线变换有限及瞬时运动矩阵集合与SE(3)及se(3)在运动合成方面的等价性,证明前者是后者的忠实表示,并揭示出这种表示与伴随表示间的同构关系。工作旨在将描述刚体有限和瞬时运动不同的方法统一在群表示论框架下。

狄拉克符号在有限群表示论中的应用

根据量子力学中狄拉克符号适用于线性空间理论这一性质,作者将该符号体系用于有限群表示论中,首先得到左正则表示与右正则表示的普遍关系.然后在该符号体系帮助下更深刻的理解正交性定理与完备性定理,并且推导出正交性定理的第二种形式.最后重新表述特征标相关理论,并在此基础上讨论特征标第二正交关系与正交性定理第二种形式间的联系.

有限群模表示论

概要介绍有限群模表示论并对有限群模表示论的发展作进一步展望。近30年来,由于新方法的引进与新理论的建立,有限群模表示论得到了迅速发展,日益深刻地应用到其他学科中,且与代数几何、代数群表示论、代数表示论等相互融合渗透,紧密地结合在一起,有力推动着数学科学的发展。

幂群的表示与同构提升

给出了广义幂群的定义，讨论了幂群、商群和广义益群之间的关系．用拉丁方给出了幂群的一种表示和判定方法．同时也讨论了幂群的同构提升问题．

量子群有限维表示的好滤过和循环模

证明了量子群有限维表示具有好滤过的上同调条件；

一类由群表示诱导的迹函数

讨论了TGM(A)的性质 ,这里G是m次对称群Sm 的子群 ,TGM(A)表示群G的酉表示M诱导的迹函数 ,定义为TGM(A) =∑σ∈GM(σ)∑mt =1 atσ(t) ,所得结果推广了TGχ(A)的性质 ,这里 χ是群G的特征标 .

氢原子系统对称性的SO(4)群表示

证明了能用来描述氢原子全部对称性的群是ＳＯ（４）群；并ＳＯ（４）群的性质对其能级和简并度进行了分析和计算。

群表示理论在对称系统H_2/H_∞控制中的一些应用

利用群论的方法研究系统的对称性,可以将对称系统分解为一系列互相独立的子系统,使系统的H2和H∞控制可以在低维子系统上设计实现,从而减少控制系统设计中的计算量,这一点对于大规模系统的控制尤其重要.简要介绍了利用系统对称性简化Lyapunov方程和Riccati方程的求解,以及计算控制系统的范数等几个例题,这些都是H2和H∞控制中常见的计算问题.

正则变换的一种群表示

经典力学中的哈密顿正则变换所涉及的４个母函数Ｆ１（ｑ，Ｑ），Ｆ２（ｑ，Ｐ），Ｆ３（ｐ，Ｐ），Ｆ４（ｐ，Ｑ）和４种正则变量ｑ，ｐ，Ｑ，Ｐ之间所有的关系，可以由７个基本关系式经线性变换而得到，这些变换是勒让德变换，变换是由３２个８×８的变换矩阵来实现的，而这３２个矩阵以４∶１的关系与具有８个群元的Ｄ４点群同态·热力学中的４个状态函数Ｇ（Ｐ，Ｔ），Ｈ（Ｐ，Ｓ），Ｕ（Ｖ，Ｓ），Ｆ（Ｖ，Ｔ）和４个热力学变量Ｐ，Ｖ，Ｔ，Ｓ之间的变换关系恰好与正则变换关系相同·热力学状态方程是源于宏观测量的实验结果的概括，而哈密顿正则变换是经典力学的理论性总结，它们的群表示是相同的，即它们的数学结构是相同的，这种共性表明热力学变换是一维哈密顿正则变换的实例·

群表示理论在群结构研究中的应用

本文用群表示理论研究群的结构,通过对于有限群的特征标的讨论寻求正规子群,进而判断群的单性.

l—群的反向极限与可表示l—群的X—包

本文讨论了函子 lim 对可表示 l—群 X—包的作用,证明了 lim 对可表示 l—群 X 包的包含关系的不变性。

一类由群表示主元素诱导的矩阵函数

讨论dGΔkk(A)的性质及相关问题 ,这里G是m次对称Sm的子群 ,Δkk(σ) ( σ∈G)为群G的表示Δ的主对角线上的元素 ,dGΔkk(A) (简记为dGkk(A) )表示由Δkk诱导的矩阵函数 ,χ是Δ所提供的特征标 ,而dGχ(A)则表示由

一类由群表示诱导的矩阵函数

讨论ｄＧＭ（Ａ）的性质．这里Ｇ是ｎ次对称群Ｓｎ的子群，而ｄＧＭ表示群Ｇ的酉表示Ｍ诱导的矩阵函数．所得结果推广了ｄＧλ（Ａ）的性质，这里λ是群Ｇ的特征标．

原子核中的无规相互作用以及基态0^+主导向群表示论的推广(英文)

在相互作用玻色子模型框架下 ,使用U(N ) U(N1) U(N2 ) O(N1) O(N2 )和U(N ) O(N ) O(N1) O(N2 )群链下具有O(N1) O(N2 )对称性的无规单体及两体哈密顿量来研究给定的不可约表示(ω1ω2 )成为偶偶核基态的出现几率 ,其中 [ω1]和 [ω2 ]分别为O(1)和O(2 )的对称表示 .采用 5 0 0个无规矩阵系综对具有 10— 2 5个玻色子的体系进行研究后发现 ,当N1,N2 ≥ 3时 ,(ω1ω2 ) =(0 0 )出现的几率～ 5 0 % ;而 (0N)和 (N0 )出现的几率为 2 5 % .类似地 ,当N1≥ 3,N2 =1时 ,对N对偶数情形 ,ω1=0出现的几率约为75 % ;ω1=N出现的几率约为 2 5 % ;对N为奇数情形 ,ω1=0出现的几率约为 5 0 % ,而ω1=1或N出现的几率都约为 2 5 % .采用了一种推广的Hatree Bose平均场理论来解释所有的这些结果 .

诱导表示与半直积群的表示

本文用Ｍａｃｋｅｙ关于诱导表示与半直积群表示的定理，给出一个构造空间群表示的较实用的程序化的方法．

带有指数为P的子群的群表示(续)

本文在[1]的基础上继续研究,S,A,P,m,n等的假设和[1]一样,有如下的结果:Th1,S的自伴随不可约表示,限制在A上可分解为p个互相共轭互不等价的不可约表示。证:设D是S的自伴随不可约表示,则D在A上可约。1.若在A上:D=D1（?）D2（?）……（?）Dr,Di是A上的不可约表示且互不相同（i=1,2,……r）。

杨图的分割与对称群Sn表示的约化

对秒群Ｓｎ的不可约表示Г（ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ）与杨图Ｔ＾（Ｆ１，Ｆ２，．．．，ｆｍ）之间存在着１－１对应，由对称群的分支规则给出杨图的分割线段，从而用分割杨图的几何方法确定Ｓｎ的任意一个不可约表示在Ｓｎ－ｋ中的约化结果。

非局部群稀疏表示的图像去噪模型

针对图像的非局部稀疏表示忽略图像中结构相似信息的缺点,将群稀疏表示引入到图像的最优滤波中,提出了一种有效去除图像高斯噪声的非局部群稀疏表示模型。该模型首先选择图像非局部相似块构建相似矩阵,在群稀疏限制下对相似矩阵进行正交分解得到正交矩阵;在已知噪声服从高斯分布的情况下,再通过求得的正交矩阵结合贝叶斯最小均方误差准则实现对特征矩阵的最优估计;最后通过正交矩阵与特征矩阵重构去噪后的图像。实验对比证明,所提的非局部群稀疏表示的图像去噪模型在去除噪声的同时更好地保留了图像的结构信息,获得了更好的主客观评价指标,去噪的峰值信噪比提高1 dB以上。