基于坐标分割的聚集型代数多重网格预条件研究

针对基于坐标分割的聚集型代数多重网格预条件,给出了三种进行坐标分割的方法,即正方分割、最小界面分割与逐步单向分割,并对其进行了高效实现。正方分割以每个子图接近于正方体或正方形的方式进行分割。最小界面分割遍历所有可能的分割,并以每个子图表面积或周长之和最短的方式进行实际分割。逐步单向分割以分割数的素因子分解为基础,并按素因子从大到小的顺序,每次沿不同坐标数最大的方向进行分割,直到所有素因子遍历完为止。之后对从模型偏微分方程离散得到的稀疏线性方程组,通过V型、W型与K型等多种循环,从多重网格预条件共轭斜量法的效率上,对这三种分割算法进行了实验对比分析。结果表明,逐步单向分割更适合于Jacobi光滑、K-循环与强各向异性等情形。最小界面分割算法更适合于Gauss-Seidel光滑、系数矩阵具有较多非零元素等情形。

自顶向下聚集型代数多重网格预条件的边权选择

针对基于图划分的自顶向下聚集型代数多重网格预条件,考察了利用METIS软件包进行多重网格构建的方法,并就该软件包只能处理整型权重,不能处理实型权重的问题,提出了一种将实型边权转化为整型边权的有效方法。之后将这种转化方法应用到METIS图划分软件中的边权选择,并用其给出了对自顶向下聚集型代数多重网格预条件的一种改进算法。通过对二维与三维模型偏微分方程离散所得稀疏线性方程组的数值实验表明,带边权的改进型算法大大提高了多重网格预条件共轭斜量法的迭代效率,特别是对各向异性问题,改进效果更加显著。

自顶向下聚集型代数多重网格预条件的健壮性与参数敏感性研究

针对自顶向下聚集型代数多重网格预条件,首先对问题规模敏感性进行了研究,并与基于强连接的经典聚集型算法进行了系统比较,发现大部分情况下,该算法具有明显优势,特别是在采用Jacobi光滑时优势更显著;之后,对最粗网格层的分割数与每次每个子图进行分割时的分割数这两个参数进行了敏感性分析。综合分析表明,自顶向下聚集型代数多重网格预条件具有较好的健壮性,特别是在采用Gauss-Seidel光滑,或采用九点差分离散时,健壮性表现更加充分。